【Fuzzy】模糊专家系统(2)

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模糊交集

模糊交集(t-norms)是一种具有两个参数的函数,定义为
t : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] t:[0, 1]\times [0, 1]\to [0, 1] t:[0,1]×[0,1]→[0,1]
使得
μ A ∩ B ( x ) = t [ μ a ( x ) , μ B ( x ) ] \mu_{A\cap B}(x)=t[\mu_a(x), \mu_B(x)] μA∩B​(x)=t[μa​(x),μB​(x)]
其中,模糊交集函数必须符合以下条件

  1. 边界条件 t ( 0 , 0 ) = 0 t(0, 0)=0 t(0,0)=0以及 t ( μ A ( x ) , 1 ) = t ( 1 , μ A ( x ) ) = μ A ( x ) t(\mu_A(x), 1)=t(1, \mu_A(x))=\mu_A(x) t(μA​(x),1)=t(1,μA​(x))=μA​(x)
  2. 单调性,如果 μ A ( x ) < μ C ( x ) \mu_A(x)<\mu_C(x) μA​(x)<μC​(x)以及 μ B ( x ) < μ D ( x ) \mu_B(x)<\mu_D(x) μB​(x)<μD​(x),则 t ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) < t ( μ C ( x ) , μ D ( x ) ) t(\mu_A(x), \mu_B(x))<t(\mu_C(x), \mu_D(x)) t(μA​(x),μB​(x))<t(μC​(x),μD​(x))
  3. 交换性, t ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) = t ( μ B ( x ) , μ A ( x ) ) t(\mu_A(x), \mu_B(x))=t(\mu_B(x), \mu_A(x)) t(μA​(x),μB​(x))=t(μB​(x),μA​(x))
  4. 结合性, t ( μ A ( x ) , t ( μ B ( x ) , μ C ( x ) ) ) = t ( t ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) , μ C ( x ) ) t(\mu_A(x), t(\mu_B(x), \mu_C(x)))=t(t(\mu_A(x), \mu_B(x)), \mu_C(x)) t(μA​(x),t(μB​(x),μC​(x)))=t(t(μA​(x),μB​(x)),μC​(x))

非参数模糊交集

令 a ≡ μ A ( x ) , b ≡ μ B ( x ) a\equiv \mu_A(x), b\equiv \mu_B(x) a≡μA​(x),b≡μB​(x)

  1. 最小值(minimum): t min ⁡ = a ∧ b = min ⁡ ( a , b ) t_{\min}=a\wedge b=\min(a, b) tmin​=a∧b=min(a,b)
  2. 代数积(algebraic product): t a p ( a , b ) = a ⋅ b = a b t_{ap}(a, b)=a\cdot b=ab tap​(a,b)=a⋅b=ab
  3. 边界积(bounded product): t b p = a Θ b = max ⁡ ( a , b ) t_{bp}=a\Theta b=\max(a, b) tbp​=aΘb=max(a,b)
  4. 激烈积(drastic product):
    t d p ( a , b ) = a ⌢ b = { a , b = 1 b , a = 1 0 , a , b < 1 t_{dp}(a, b)=a\frown b= \begin{cases} a, b=1\\ b, a=1\\ 0, a,b<1 \end{cases} tdp​(a,b)=a⌢b=⎩⎪⎨⎪⎧​a,b=1b,a=10,a,b<1​

关系: a ⌢ b ≤ a Θ b ≤ a ⋅ b ≤ a ∧ b a\frown b\leq a\Theta b\leq a\cdot b\leq a\wedge b a⌢b≤aΘb≤a⋅b≤a∧b

  1. 最大值(maximum): S max ⁡ ( a , b ) = a ∨ b = max ⁡ ( a , b ) S_{\max}(a, b)=a\vee b=\max(a, b) Smax​(a,b)=a∨b=max(a,b)
  2. 代数和(algebraic sum): S a s ( a , b ) = a ∔ b = a + b − a b S_{as}(a, b)=a\dotplus b=a+b-ab Sas​(a,b)=a∔b=a+b−ab
  3. 边界和(bounded sum): S b s ( a , b ) = a ⊕ b = m i n ( 1 , a + b ) S_{bs}(a, b)=a\oplus b=min(1, a+b) Sbs​(a,b)=a⊕b=min(1,a+b)
  4. 激烈和(drastic sum):
    S d s ( a , b ) = a ∨ b ≤ a ∔ b ≤ a ⊕ b ≤ a ⌣ b S_{ds}(a, b)=a\vee b\leq a\dotplus b\leq a\oplus b\leq a\smile b Sds​(a,b)=a∨b≤a∔b≤a⊕b≤a⌣b

关系

模糊关系也是一种模糊集合
并集: μ R ∪ S ( x , y ) = max ⁡ ( μ R ( x , y ) , μ S ( x , y ) ) \mu_{R\cup S}(x, y)=\max(\mu_R(x, y), \mu_S(x, y)) μR∪S​(x,y)=max(μR​(x,y),μS​(x,y))
交集: μ R ∩ S ( x , y ) = min ⁡ ( μ R ( x , y ) , μ S ( x , y ) ) \mu_{R\cap S}(x, y)=\min(\mu_R(x, y), \mu_S(x, y)) μR∩S​(x,y)=min(μR​(x,y),μS​(x,y))
补集: μ R ˉ ( x , y ) = 1 − μ R ( x , y ) \mu_{\bar{R}}(x, y)=1-\mu_R(x, y) μRˉ​(x,y)=1−μR​(x,y)
包含: R ⊆ S ⇔ μ R ( x , y ) ≤ μ S ( x , y ) , ∀ ( x , y ) R\subseteq S \Leftrightarrow \mu_R(x, y)\leq \mu_S(x, y), \forall (x, y) R⊆S⇔μR​(x,y)≤μS​(x,y),∀(x,y)

投影与柱状扩充

投影

R R R表示在 X × Y X\times Y X×Y上的一个模糊关系,如果 R R R对 X X X以及 Y Y Y的投影分别定义为
R X = R ↓ X = ∫ X max ⁡ y μ R ( x , y ) / x R_X=R\downarrow X=\int_X\max_y\mu_R(x, y)/x RX​=R↓X=∫X​ymax​μR​(x,y)/x

R Y = R ↓ Y = ∫ Y max ⁡ x μ R ( x , y ) / x R_Y=R\downarrow Y=\int_Y\max_x\mu_R(x, y)/x RY​=R↓Y=∫Y​xmax​μR​(x,y)/x
隶属函数定义如下
μ R X = μ R ↓ X ( x ) = max ⁡ y μ R ( x , y ) \mu_{R_X}=\mu_{R\downarrow X}(x)=\max_y\mu_R(x, y) μRX​​=μR↓X​(x)=ymax​μR​(x,y)

μ R Y = μ R ↓ Y ( y ) = max ⁡ x μ R ( x , y ) \mu_{R_Y}=\mu_{R\downarrow Y}(y)=\max_x\mu_R(x, y) μRY​​=μR↓Y​(y)=xmax​μR​(x,y)

柱状扩充

R R R表示 X X X或者 Y Y Y上的一个模糊关系或者集合,那么其在 X × Y X\times Y X×Y上的柱状扩充 C ( A ) C(A) C(A)的定义分别如下
C ( A ) = R ↑ X × Y = ∫ X × Y μ R ( x ) / ( x , y ) C ( A ) = R ↑ X × Y = ∫ X × Y μ R ( y ) / ( x , y ) C(A)=R\uparrow X\times Y=\int_{X\times Y}\mu_R(x)/(x, y)\\ C(A)=R\uparrow X\times Y=\int_{X\times Y}\mu_R(y)/(x, y) C(A)=R↑X×Y=∫X×Y​μR​(x)/(x,y)C(A)=R↑X×Y=∫X×Y​μR​(y)/(x,y)
隶属函数如下
μ C ( A ) μ R ( x ) , ∀ x ∈ X , ∀ y ∈ Y μ C ( A ) μ R ( y ) , ∀ x ∈ X , ∀ y ∈ Y \mu_{C(A)}\mu_R(x), \forall x\in X, \forall y\in Y\\ \mu_{C(A)}\mu_R(y), \forall x\in X, \forall y\in Y μC(A)​μR​(x),∀x∈X,∀y∈YμC(A)​μR​(y),∀x∈X,∀y∈Y

参考资料

模糊专家系统(2)

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