快速幂
利用二进制的方式来进行实现
\(2^0 = 2^0\)
\(2^1 = 2^1\)
\(2^2 = 2^2\)
\(2^3 = 2^2 * 2\)
\(2^4 = 2^4\)
\(2^5 = 2^4 * 2\)
\(2^6 = 2^4 * 2^2\)
\(2^7 = 2^4 * 2^2 * 2\)
所以我们可以看出来的是
二进制位上我们现在只有当某一位是１的时候才乘
举个例子
\[2^{7} =2^{(111) _ 2} = 2^{(100) _ 2} * 2^{(10) _ 2} * 2^{(1) _ 2} = 2^8 * 2^4 * 2^2 * 2^1 \]
\[2^{10} = 2 ^ {(1010) _ 2} = 2^{(1000) _ 2} * 2^{(10) _ 2} = 2^8 * 2^2 \]
所以原来\(O(b)\)复杂度一下降低到了\(O(logb)\)
inline int pow(int a,int b)
{
int r=1,base=a;
while(b)
{
if(b&1) r*=base;//如果当前位是1，那么直接相乘
base*=base;//不管是什么数字下一位都需要再乘一次(2的倍数)
b>>=1;//移到下一位
}
return r;//返回结果
}
矩阵乘法
定义矩阵乘法的运算方式是:
\[c _ {ij} = \quad\sum _ {k=1}^na _ {ik} *b _ {kj} \]
举个例子
\[\begin{pmatrix} {a _ 1} & {a _ 2} & {a _ 3} \\ {b _ 1} & {b _ 2} & {b _ 3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {c _ 1} \\ {c _ 2} \\ {c _ 3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a _ 1}{c _ 1} + {a _ 2}{c _ 2} + {a _ 3}{c _ 3} \\ {b _ 1}{c _ 1} + {b _ 2}{c _ 2} + {b _ 3}{c _ 3} \end{pmatrix} \]
\[\therefore \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 * 7 + 2 * 8 + 3 * 9 \\ 4 * 7 + 5 * 8 + 6 * 9 \end{pmatrix} \]
\[\therefore \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 122 \end{pmatrix} \]
int n;//矩阵大小
void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }//简单定义 +=
struct Matrix
{
int a[n][n];//矩阵
friend Matrix operator *(const Matrix x, const Matrix y)//定义矩阵类型的乘法
{
Matrix c;//定义新的矩阵用来存储结果
memset(c.a, 0, sizeof(c.a));//初始化
for(int i = 0; i < n;i ++)//进行枚举
for(int j = 0; j < n;j ++)
for(int k = 0; k < n;k ++)
Up(c.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod);//相乘
return c;//返回答案矩阵
}
};
如何利用矩阵乘法计算
在计算递推式的时候，我们可以把递推式构建成矩阵乘法的样子
比如形如下列递推式的递推式:
\[f(n) = a * f(n - 1) + b * f(n - 2) \]
我们可以考虑构造成:
\[\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}\]
然后就有:
\[\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix} \]
\[\because \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 2) \\ f(n - 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix} \]
\[\therefore \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix} f(n - 2) \\ f(n - 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^3 \begin{pmatrix} f(n - 3) \\ f(n - 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} f(1) \\ f(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}\]
然后构造起来的道理是这样，但是真正的矩阵是什么样子的还得自己知道怎么推然后再去做
假如给你一个形如\(f(n) = a * f(n - 1) + b * f(n - 2) + c * f(n - 3)\)你要是不会推还是会GG的
然后因为有的时候\(dp\)的递推式也可以用矩阵来加速，所以用处很大
矩阵乘法快速幂
前一部分的模板
void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }//简单定义+=
struct Matrix
{
int a[n][n];
friend Matrix operator *(const Matrix x, const Matrix y)//定义矩阵乘法
{
Matrix c;
memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n; j ++)
for(int k = 0; k < n; k ++)
Up(c.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod);
return c;
}
};
Matrix Qpow(Matrix x, int timer)//矩阵快速幂
{
Matrix base;//定义结果矩阵
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n; j ++)
base.a[i][j] = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++) base.a[i][i] = 1;
for(; timer; timer >>= 1, x = x * x)
if(timer & 1) base = base * x;
return base;
}