题目大意

P3469 [POI2008]BLO-Blockade

给出一张无向图，要求输出分别删除某个点相连的边后，无向图中有多少个有序点对满足\(x\)和\(y\)不连通

问题求解

删掉一个点是否连通，自然而然就想到了割点，如果这个点是割点，那么删掉边后其他\(n-1\)的点都是连通的，由于是有序点对，所以这个点的答案就是\(2 \times (n-1)\)

对于不是割点的点，需要求出删除后各连通块的大小，相乘的和就是答案，然后思考如何快速求出，在搜索树上，节点\(i\)的子节点集合中，有\(t\)个点\(s_1,s_2,...,s_k\)满足割点判定条件，\(dfn[i]≤low[s_k]\),于是，删除\(i\)关联的所有边后，无向图会分成至多\(t+2\)个连通块因为

• 节点\(i\)自身是一个连通块

• 有\(t\)个连通快，分别由搜索树上以\(s_k(1≤k≤t)\)为根的子数中的节点构成

• 还可能有一个连通块，除了由上述节点之外的所有节点构成

所以记下搜索树中子树的大小\(size[x]\)，显然答案就表示成

\[\sum_{i=1}^t{size[s_i]\times(n-size[s_i])}+1\times(n-1)+(n-1-\sum_{i=1}^t{size[s_k]})\times(1+\sum_{i=1}^t{size[s_k]}) \]

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn=100005,maxe=1000005;
int lnk[maxn],nxt[maxe],son[maxe],cnt=1,num;
int dfn[maxn],low[maxn],size[maxn];
int N,M;
LL Ans[maxn];
bool cut[maxn];

inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
inline void add_e(int x,int y){son[++cnt]=y;nxt[cnt]=lnk[x];lnk[x]=cnt;}
void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++num;size[x]=1;
	int flg=0,sum=0;
	for(int j=lnk[x];j;j=nxt[j]){
		if(!dfn[son[j]]){
			tarjan(son[j]);
			size[x]+=size[son[j]];
			low[x]=min(low[x],low[son[j]]);
			if(dfn[x]<=low[son[j]]){
				flg++;
				Ans[x]+=(LL)size[son[j]]*(N-size[son[j]]);
				sum+=size[son[j]];
				if(x!=1||flg>1)cut[x]=1;
			}
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[son[j]]);
	}
	if(cut[x])
		Ans[x]+=(LL)(N-sum-1)*(sum+1)+(N-1);
	else
		Ans[x]=2*(N-1);
}
int main(){
	freopen("P3469.in","r",stdin);
	freopen("P3469.out","w",stdout);
	N=read();M=read();
	for(int i=1;i<=M;i++){
		int x=read(),y=read();
		if(x==y)continue;
		add_e(x,y);add_e(y,x);
	}
	tarjan(1);
	for(int i=1;i<=N;i++)
		printf("%lld\n",Ans[i]);
	return 0;
}