前言
自从高中数学中引入了导数之后，能求解单调性问题的函数的类型和范围大大拓展了，但是随之也带来了许多困惑，本博文希望和各位一起作一探讨。
廓清认知
容易混淆的两个题型：Ⅰ、已知函数的单调性，求参数的取值范围；Ⅱ、已知函数存在单调区间，求参数的取值范围；
容易出错的地方：
题型Ⅰ中，比如已知函数\(f(x)\)在区间\((a，b)\)内单调递增，则\(f'(x)\geqslant 0\)在区间\((a，b)\)内恒成立且\(f'(x)=0\)在区间\((a，b)\)内不恒成立(即需要保证\(f(x)\)不是常函数，否则不符合题意，因为常函数没有单调性)，故求得参数的取值范围后，还需要对端点值作以验证，否则会产生错误的多解；而学生则容易错误转化为\(f'(x)>0\)在区间\((a，b)\)内恒成立，这样必然不包含区间的端点值，这样又会产生漏解；
典例剖析
- 类型1：参数包含在函数的系数中
思路方法：若函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)单调递增，则\(f'(x)\ge 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立，且导函数\(f'(x)\)不恒为\(0\)；若函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)单调递减，则\(f'(x) \leq 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立，且导函数\(f'(x)\)不恒为\(0\)；
易错警示：漏掉等号，忘掉验证；
【解答】由函数\(f(x)\)在在区间\((-4，4)\)内单调递增，则\(f'(x)\ge 0\)在区间\((-4，4)\)内恒成立，
又\(f'(x)=(ax+a^2+1)e^{ax}\)，注意到\(e^{ax}>0\)恒成立，即有\(ax+a^2+1\ge 0\)在区间\((-4，4)\)内恒成立，
令\(g(x)=ax+a^2+1\)为一次型的函数，故只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{g(-4)\ge 0}\\{g(4)\ge 0}\end{array}\right.\)，
即\(\left\{\begin{array}{l}{a^2-4a+1\ge 0}\\{a^2+4a+1\ge 0}\end{array}\right.\)，
解得，\(\left\{\begin{array}{l}{a\ge 2+\sqrt{3}或a\leq 2-\sqrt{3}}\\{a\leq -2-\sqrt{3}或a\ge -2+\sqrt{3}}\end{array}\right.\)，
即\(a\in (-\infty，-2-\sqrt{3}]\cup[-2+\sqrt{3}，2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3}，+\infty)\)。
- 类型2：参数包含在给定区间端点处
思路方法：用常规方法求出单调区间，那么给定区间必然是求出的单调区间的子区间，转化为集合的关系求解；
分析：先用导数的方法求得函数\(f(x)\)的单调递减区间，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，
令\(f'(x)<0\)，解得\(x\in (-2，1)\)，即其单调递减区间为\([-2，1]\)，此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值。
而题设又已知函数在\([a，a+1]\)上单调递减，故\([a，a+1]\subseteq [-2，1]\)，即问题转化为集合的包含关系问题了。
此时只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a}\\{a+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，解得\(-2\leqslant a\leqslant 0\)，
故参数\(a\)的取值范围为\([-2，0]\)。
- 类型1：参数包含在函数的系数中
直接法：函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)上存在单调递增区间，则\(f'(x)>0\)在区间\([a，b]\)上能成立(或有解)；
函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)上存在单调递减区间，则\(f'(x)<0\)在区间\([a，b]\)上能成立(或有解)；易错警示：多添加了等号；
间接法：不存在单调递增区间，则函数为常函数或单调递减，则恒有\(f'(x)=0\)或\(f'(x)\leq 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立；不存在单调递减区间，则函数为常函数或单调递增，则恒有\(f'(x)=0\)或\(f'(x)\ge 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立；
【法1，直接法】：\(g(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1+2x\)，则\(g'(x)=x^2-ax+2\)，
由\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内存在单调递减区间，得到，
\(g'(x)=x^2-ax+2<0\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，
分离参数得到，\(a < x+\cfrac{2}{x}\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，
而\(\left(x+\cfrac{2}{x}\right)_{max}=-2\sqrt{2}\)，当且仅当\(x=\cfrac{2}{x}\)，即\(x=-\sqrt{2}\)时取到等号，
故实数\(a\)的取值范围为\((-\infty，-2\sqrt{2})\)。
注意：若函数\(f(x)\)在区间\((a，b)\)存在单调递减区间，应该得到\(f'(x)<0\)在区间\((a，b)\)有解或能成立，而不是\(f'(x)\leq 0\)在区间\((a，b)\)有解或能成立。
学生认为：函数\(f(x)\)在区间\((a，b)\)存在单调递减区间，应该得到\(f'(x)\leq 0\)在区间\((a，b)\)有解或能成立，这种认识是错误的，这样解释一下啊，
\(f'(x)\leqslant 0\)在区间\((a，b)\)上有解，对应情形一：\(f'(x)<0\)在区间\((a，b)\)上有解；或情形二：\(f'(x)=0\)在区间\((a，b)\)上有解；这两个情形只要有一个满足即可，其中情形一求解结果是区间，而情形二求解结果不是区间，故不符合题意，自然就舍去了。
[反例说明]若\(a=-2\sqrt{2}\)，由\(g'(x)=x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2\ge 0\)恒成立，则函数\(g(x)\)只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。
【法2，间接法】假设函数\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内不存在单调递减区间，
则函数\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内为常函数或单调递增，
则恒有\(g'(x)=0\)或\(g'(x)\ge 0\)在区间\((-2，-1)\)内恒成立，
由于\(g'(x)=x^2-ax+2\)，显然恒有\(g'(x)=0\)不成立，
故重点探究\(g'(x)\ge 0\)在区间\((-2，-1)\)内恒成立，
\(g'(x)=x^2-ax+2\ge 0\)在区间\((-2，-1)\)内恒成立，分离参数，
得到\(a\ge x+\cfrac{2}{x}(-2< x <-1)\)在区间\((-2，-1)\)内恒成立，
由于\(h(x)=x+\cfrac{2}{x}\)在\((-2，-\sqrt{2}]\)上单调递增，在\([-\sqrt{2}，-1)\)上单调递减，
故\(h(x)_{max}=h(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\)，
故函数\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内不存在单调递减区间时，\(a\ge -2\sqrt{2}\)；
即存在单调递减区间时，\(a< -2\sqrt{2}\)，即\(a\in (-\infty，-2\sqrt{2})\)。
- 类型2：参数包含在给定区间端点处
思路方法：用常规方法求出单调区间，转化为集合的关系求解；