关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。很有必要学习一下，有些是用代数表达式很方便的东西，用SQL写出来还是挺麻烦的，并不是想象当中那么直接。
一、关系代数的9种操作：
关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：
并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)
四个组合操作：
交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(RcrossS)、除法(÷)
注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)
注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列
二、关系代数表达式：
由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：
设教学数据库中有3个关系：
学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)
学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)
课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)
(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩
SELECT SNO,GRADE
FROM SC
WHERE CNO=‘C2‘
π SNO,GRADE(σCNO=‘C2‘(SC))
(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名
SELECT SC.SNO,S.SNAME
FROM SC,S
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND SC.CNO=‘C2‘
π SNO,SNAME(σCNO=‘C2‘(ScrossSC))
此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
π SNO,SNAME（S）cross（πSNO(σCNO=‘C2‘(SC))）
自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。
此表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间、省空间。
(3) 检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名
SELECT SC.SNO,S.SNAME
FROM SC,S,C
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND SC.CNO=C.CNO
AND C.CNAME=‘MATHS‘
π SNO,SANME(σCNAME=‘MATHS‘(ScrossSCcrossC))
(4) 检索选修课程号为C2或C4的学生学号
SELECT SNO
FROM SC
WHERE CNO=‘C2‘
OR CNO=‘C4‘
π SNO(σ CNO=‘C2‘∨CNO=‘C4‘(SC))
(5) 检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号
SELECT SA.SNO
FROM SC AS SA,SC AS SB
WHERE SA.SNO=SB.SNO
AND SA.CNO=‘C2‘
AND SB.CNO=‘C4‘
π 1(σ1=4∧2=‘C2‘∧5=‘C4‘（SC×SC）)
(6) 检索不学C2课的学生姓名与年龄
SELECT SNAME,AGE
FROM S
MINUS
SELECT S.SNAME,S.AGE
FROM SC,S
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND SC.CNO=‘C2‘
(Oracle)
π SNAME,AGE（S）－πSNAME,AGE(σCNO=‘C2‘（ScrossSC）)
(7) 检索学习全部课程的学生姓名
这个定义用SQL表示比较麻烦，略过
π SNO,CNO(SC)÷πCNO(C)
先用除法取出选取所有课程的SNO集(除法可以理解为一个Filter)
π SNAME(S cross (πSNO,CNO(SC)÷πCNO(C)))
再关联S表取出SNAME
(8) 检索所学课程包含S3所学课程的学生学号
这个定义用SQL表示比较麻烦，略过
π SNO,CNO(SC)÷ πCNO(σSNO=‘S3‘(SC)）
同样运用了除法的特性
(9) 将新课程元组(‘C10‘,‘PHYSICS‘,‘YU‘)插入到关系C中
INSERT INTO C VALUES(‘C10‘,‘PHYSICS‘,‘YU‘)
(C∪(‘C10‘,‘PHYSICS‘,‘YU‘))
记住该符号的用法
(10) 将学号S4选修课程号为C4的成绩改为85分
UPDATE SC SET GRADE=85
WHERE SNO=‘S4‘
AND CNO=‘C4‘
（SC－（‘S4‘,‘C4‘,?)∪(‘S4‘,‘C4‘,85)）
先用‘－‘实现DELETE功能，再用‘∪‘实现INSERT功能
注意使用?来表示检索时忽略该字段值
四、关系代数表达式的优化：
目的：为了系统在执行时既省时间又能提高效率。
基本策略：先做选择，运用投影去除多余属性等等。
优化算法：语法树(尽量提前做选择操作；在每个操作后，应做个投影操作，去掉不用的属性值)
例如：
π SNO,SNAME(σGRADE>60(ScrossSC)) 进行优化后转换为：
π SNO,SNAME(πSNO,SNAME(S)crossπSNO(σGRADE>60(SC)))
--即提前做选择操作；在每个操作后，应做个投影操作，去掉不用的属性值
又如：
S(S#,SNAME,AGE,SEX)
SC(S#,C#,GRADE)
C(C#,CNAME,TEACHER)
π CNAME,TEACHER(σSEX=‘女‘(ScrossSCcrossC)) 进行优化后转换为：
πCNAME,TEACHER(CcrossπC#(πS#,C#(SC)crossπS#(σSEX=‘女‘(S))))
优化前和优化后的语法树如下所示：
syntax_tree