上帝与集合的正确做法 拓展欧拉定理 欧拉函数性质

题意

求

\[2^{2^{2^{2...}}} \ mod \ p \]

\[p \leq 10^7 \]

分析

拓展欧拉定理

\[a^b = \begin{cases} a^{b \ mod \ \phi(p)},gcd(a,p) = 1\\ a^b \ ,\ gcd(a,p) \neq 1 \and b\leq \phi(p)\\ a^{b \ mod \ \phi(p) + \phi(p)}, \ gcd(a,p)\neq1\and b\geq \phi(p) \end{cases} \]

欧拉函数的一种计算式：

\[\phi(n) = n \prod_{i=1}(1-\frac{1}{p_i}) \]

可以推出

• \(n>2\)时，\(2|\phi(n)\) 与\(n\)互质的数总是成对出现
• \(n\)为奇数时，\(\phi(2n) = \phi(n)\)

可以对上式变换

\[2^{2^{2^{2...}}} \ mod \ p = 2^{P \ mod \ \phi(p) + \phi(p)} \ mod \ p\\ P \ mod \ \phi(p) = 2^{P' \ mod \ \phi(\phi(p)) + \phi(\phi(p))} \ mod \ \phi(p)\\ ... \]

我们发现求这个的过程相当于对\(p\)迭代\(phi(x)\)函数

而容易发现**\(p -> phi(p)\) 如果\(2|p\)那么大小至少减小一半(计算式) **

如果\(p\)是奇数，那么\(\phi(p) = \phi(2p)\) ,\(2 | phi(2p)\) 即一定会成为偶数

因此经过\(2log\)次迭代就会变为1

于是直接暴力迭代就会快速迭代完毕

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<ll,ll>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;


inline ll rd(){
	ll x;
	scanf("%lld",&x);
	return x;
}

const int MOD = 1e9 + 7;

inline int mul(int a,int b){
	int res = (ll)a * b % MOD;
	if(res < 0) res += MOD;
	return res;
}

inline void add(int &a,int b){
	a += b;
	if(a >= MOD) a -= MOD;
}

inline void sub(int &a,int b){
	a -= b;
	if(a < 0) a += MOD;
}

const int maxn = 3e6 + 5;

inline int ksm(int a,int b = MOD - 2,int m = MOD){
	int ans = 1;
	int base = a;
	while(b){
		if(b & 1) ans = (ll)ans * base % m;
		base = (ll)base * base % m;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

inline int get_phi(int n) {
    int m = int(sqrt(n + 0.5));
    int ans = n;
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

int get(int x){
	if(x < 3) return 0;
	int n = get_phi(x);
	return ksm(2,n + get(n),x);
}

int main(){
	int T = rd();
	while(T--){
		int x = rd();
		printf("%d\n",get(x));
	}
}