幂的取模

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题目大意

多组数据，每次给你 p。
要你求 2^2^2^2^... 一直下去取模 p 的结果。

思路

你考虑它不停的指数，你考虑找一个东西可以化简上面部分的。

然后有一个东西叫做扩展欧拉定理，就是 \(a^x\equiv a^{x\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod{p}\)。

然后你每次就可以化解，然后发现上面的部分就是 \(\varphi(p)\) 加上以 \(\varphi(p)\) 带入 \(p\) 的递归。
然后如果 \(p=1\) 那答案是 \(0\)，那我们就可以递归下去得到答案。

然后线性预处理一下 \(\varphi\) 就可以了。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

int T;
ll p, phi[10000001];
int prime[10000001];
bool np[10000001];

ll ksm(ll x, ll y, ll mo) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

ll work(ll p) {
	if (p == 1) {//模 1 结果肯定是 0
		return 0;
	}
	return ksm(2, work(phi[p]) + phi[p], p);//用扩展欧拉定理递归下去
}

int main() {
	for (int i = 2; i <= 1e7; i++) {
		if (!np[i]) {
			prime[++prime[0]] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= 1e7; j++) {
			np[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break;}
				else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
	}
	
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%d", &p);
		printf("%lld\n", work(p));
	}
	
	return 0;
}