功能性模块：（10）Spearman‘s rank correlation coefficient的简单理解(含与PCC之间的区别)

2023-09-29 14:11:22

Spearman’s rank correlation coefficient的简单理解

1. 背景

在统计学中，斯皮尔曼等级相关系数（Spearman’s rank correlation coefficient，或者Spearman’s ρ \rho ρ，通常使用 ρ \rho ρ或者 r s r_s rs来表示），是一个等级相关性的非参数度量（两个变量等级之间的统计相关性）。这个相关系数使用单调函数来描述两个变量之间的关系程度。

如果两个变量的Spearman correlation和Pearson correlation相等，Person correlation评估两组变量的线性关系，Spearman correlation评估的是两组变量的单调性关系（无论是否线性）。如果没有重复的数据值，每个变量都是另外一个变量的完美单调函数时，会出现+1或者-1的完美Spearman correlation。

直观上来看，如果两个变量之间具有相似的等级（或者换句话说完全相同的等级，那么相关性就为1），相似的情况下相关性也会比较高，如果两个变量具有不同的等级（或者完全相反的情况下，那么相关性就为-1），相关性就会非常低。

那么Spearman’s coefficient适用于连续序数变量或者离散序数变量的相关性表示

2.定义

Spearman’s rank correlation coefficient被定义成等级变量之间的Pearson coefficient。

对于样本容量为n的样本，将n个原始数据 X i X_i Xi, Y i Y_i Yi转换成等级数据 r g X i rg_{X_i} rgXi, r g Y i rg_{Y_i} rgYi，并且 r s r_s rs可以按照如下的公式进行计算

r s = ρ r g X i , r g Y i = c o v ( r g X , r g Y ) σ r g X σ r g Y r_s =\rho_{rg_{X_i},rg_{Y_i}}=\frac{cov(rg_X, rg_Y)}{\sigma_{rg_X}\sigma_{rg_Y}} rs=ρrgXi,rgYi=σrgXσrgYcov(rgX,rgY)

其中 ρ \rho ρ表示的是Pearson correlation coefficient（PCC），但是使用的变量是转换成等级后的变量。
c o v ( r g X , r g Y ) cov(rg_X, rg_Y) cov(rgX,rgY)是转换成等级变量之间的协方差

σ r g X \sigma_{rg_X} σrgX, σ r g Y \sigma_{rg_Y} σrgY是转换成等级变量后的标准差

只有当所有n个等级都是不同的整数是，才可以使用下面的公式进行计算
r s = 1 − 6 ∑ d i 2 n ( n 2 − 1 ) r_s=1-\frac {6\sum{d_i^2}}{n(n^2-1)} rs=1−n(n2−1)6∑di2

其中 d j = r g ( X i ) − r g ( Y i ) d_j=rg(X_i)-rg(Y_i) dj=rg(Xi)−rg(Yi)是两个变量值等级之间的差异

3.代码实现

很简单的代码实现

def ComputeRs(a, b):
    aa = np.column_stack((a, b))
    # rank的方式有很多种，这里使用的average的方式
    aa_ranked = np.apply_along_axis(stats.rankdata, 0, aa)
    rs = np.corrcoef(aa_ranked, rowvar=0)
    return rs[1, 0]