弄懂“三门问题”,成功概率翻倍,来用代码验证一下

看到一段关于“三门问题”的视频,第一感觉就是视频的结论有误。本想一笑了之,但看了评论,迷惑了:三门问题的答案到底是什么?

作为勤学好问的码农,不知道最终答案,还是很难受的,于是深入研究一下,发现”小丑竟然是自己“。如果你想挑战一下自己,可以先跳过推理和结论部分,自己先得出一个答案,然后再看看是否正确。

一条朋友圈

在花了一个小时,弄懂三门问题之后,发了一条这样的朋友圈:弄懂“三门问题”,成功概率翻倍,来用代码验证一下三门问题:有三扇门,其中一扇后面是汽车,另外两扇是山羊。当你选择一扇门后,主持人从另外两扇门中打开一扇有山羊的。那么,此时换门是否会增加获得汽车的概率?

第一次错:直觉,换与不换都是1/2的概率;差点止步于此,得出结论:都是骗人的。

第二次错:列举,(选1,去2,换)、(选2,去1,换)、(选3,去1,不换)、(选3、去2、不换),看似概率依旧是1/2。但这里犯了一个错误,没引入首选的概率,也就是后两种情况不能按1/4算,只能按1/6算。

第三次引入概率:1/3(选1,去2,换)、1/3(选2,去1,换)、1/6(1/3 * 1/2)(选3,去1,不换)、1/6(1/3 * 1/2)(选3、去2、不换),后两项合计只有1/3概率。

所以,三门问题的答案是:选择换。概率会从原来的1/3,变成2/3;

通过这个问题在想:有时候,坚持可能是错的,可能是主观判断,可能环境已经发生了变化;但有时候又要坚持,要坚持对答案的怀疑,不断寻找答案。

如果从底层逻辑来说就是:坚持动态的看待问题。也就是:士别三日当刮目相待。

发完这条朋友圈,感觉这个问题有必要通过程序实现一下,同时写篇文章分享出来,于是就有了这篇文章。

如果上面的分析没看懂,也没关系,下面就结合代码再分析实践一下。

三门问题

三门问题出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal,问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。

问题场景:

参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。

据说,90%的人都选择了不换。你的选择是什么呢?

概率分析

先看下图,存在汽车、山羊1、山羊2,三个门:弄懂“三门问题”,成功概率翻倍,来用代码验证一下选手选择三个门的概率都是三分之一,下面进行具体的假设:

  • 假设选手选择了山羊1,那么主持人打的门只能是山羊2,因为有汽车的门是不能打开的。这种情况发生的概率为:1/3(选手选择山羊1的概率)* 1(主持人的选择是确定的) = 1/3;此时如果,则赢得汽车;
  • 假设选手选择了山羊2,那么主持人打的门只能是山羊1,因为有汽车的门是不能打开的。这种情况发生的概率为:1/3(选手选择山羊2的概率)* 1(主持人的选择是确定的) = 1/3;此时如果,则赢得汽车;
  • 假设选手选择了汽车,那么主持人有两种打开选择:山羊1和山羊2。主持人选择山羊1的概率:1/3(选手选择汽车的概率)* 1/2(主持人二选一) = 1/6;主持人选择山羊2的概率:1/3(选手选择汽车的概率)* 1/2(主持人二选一) = 1/6;所以,当选手选择了汽车的门时,发生的概率为:1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 1/3。此时如果不换,则赢得汽车;

很显然,三种情况发生的概率都为三分之一,换之后赢得汽车的概率是不换的2倍。也就是说:换之后,赢得汽车的概率变成了2/3。

程序演示

上面做了理论分析,下面写一段代码,来验证一下:

public class ThreeDoors {
 /**
  * 随机选择器
  */
 private static final Random RANDOM = new Random();
 /**
  * 成功总次数
  */
 private static int SUCCESS_COUNT = 0;
 /**
  * 重复执行10w次
  */
 private static final int PLAY_TIMES = 100000;
 public static void main(String[] args) {
  // 执行游戏10w次
  for (int i = 0; i < PLAY_TIMES; i++) {
   playGame();
  }
  // 计算选择"换"的概率
  BigDecimal yield = new BigDecimal(SUCCESS_COUNT)
    .divide(new BigDecimal(PLAY_TIMES), 4, RoundingMode.HALF_UP)
    .multiply(new BigDecimal(100));
  System.out.println("执行" + PLAY_TIMES + "次实验,选择【交换】的概率为:" + yield + "%");
 }
 public static void playGame() {
  // 初始化三扇门,默认为false,都没有车
  boolean door1 = false, door2 = false, door3 = false;
  // 选手选择的门是否为汽车,true:是
  boolean pickedDoor;
  // 最后剩下的门是否为汽车,true:是
  boolean leftDoor;
  // 第一步:随机选择一扇门,放入汽车
  switch (pickDoor(3)) {
   case 1:
    door1 = true;
    break;
   case 2:
    door2 = true;
    break;
   case 3:
    door3 = true;
    break;
   default:
    System.out.println("异常数值");
    break;
  }
  // 第二步:选手选择一扇门,依旧采用上面选门的算法
  int playerPickedDoor = pickDoor(3);
  // 第三步:主持人移除一扇有山羊的门
  // 其中主持人只能二选一,移除1一扇门,相当于选择了另一扇门
  if (playerPickedDoor == 1) {
   // 选手选择门1
   pickedDoor = door1;
   // 如果门2有车,则只能移除门3
   if (door2) {
    leftDoor = door2;
   } else if (door3) {
    // 如果门3有车,则只能移除门2
    leftDoor = door3;
   } else {
    // 两个门都没车,随机二选一
    if (pickDoor(2) == 1) {
     leftDoor = door2;
    } else {
     leftDoor = door3;
    }
   }
  } else if (playerPickedDoor == 2) {
   // 选手选择门2
   pickedDoor = door2;
   // 如果门1有车,则只能移除门3
   if (door1) {
    leftDoor = door1;
   } else if (door3) {
    // 如果门3有车,则只能移除门1
    leftDoor = door3;
   } else {
    // 两个门都没车,随机二选一
    if (pickDoor(2) == 1) {
     leftDoor = door1;
    } else {
     leftDoor = door3;
    }
   }
  } else {
   // 选手选择门3
   pickedDoor = door3;
   // 如果门1有车,则只能移除门2
   if (door1) {
    leftDoor = door1;
   } else if (door2) {
    // 如果门2有车,则只能移除门1
    leftDoor = door2;
   } else {
    // 两个门都没车,随机二选一
    if (pickDoor(2) == 1) {
     leftDoor = door1;
    } else {
     leftDoor = door2;
    }
   }
  }
  // 第四步:上述结果一定的情况,选手选择更换门
  pickedDoor = leftDoor;
  // 第五步:判断该门是否有车
  if (pickedDoor) {
   SUCCESS_COUNT++;
  }
 }
 
 /**
  * 随机选择一个门
  */
 public static int pickDoor(int bound) {
  return RANDOM.nextInt(bound) + 1;
 }
}

上述实现方法,暂且未考虑算法优化,只是简单情况判断处理。

上述实现分以下几步:

  • 第一步:随机选择一扇门,放入汽车,这里采用Random随机数,如果对应的门后为车,则对应的值设置为true;
  • 第二步:选手选择一扇门,算法依旧采用Random随机数;
  • 第三步:在选手选择一扇门的前提下,主持人移除一扇没有汽车的门。这里并未处理移除的门,而是记录了移除之后剩下的那扇门的值。如果两扇门都没有车,则随机二选一。
  • 第四步:选手选择交换,即选手选择的门变成了剩下的那扇门。
  • 第五步:开门,验证,如果成功记录一次;
  • 第六步:执行10w次之后,计算百分比;

最终打印日志如下:

执行100000次实验,选择【交换】的概率为:66.7500%

多执行几次,会发现几乎都在66%-67%之间,说明选择【换】,的确可以让成功的概率翻倍。

小结

最后,回顾一下整个过程:无意看到一条讲”三门问题“的视频,先是做出了直观判断(错误的),对别人的结论嗤之以鼻,然后发现许、异议。于是,开始寻求佐证,最终得到了正确的答案。

正像在朋友圈中说的:有时候,坚持可能是错的,可能是因为主观判断,也可能是因为环境已经发生了变化;但有时候又要坚持,要坚持对答案的怀疑,对答案的不断追寻。

这也应该是我们做事的底层逻辑,不能单靠【感觉】来判断,更多的要采用事实作为依据。特别是程序员,我们还可以用程序来解决类似的问题。

同时,你是否发现,用程序来解决生活中的一些问题,不也是很有意思的吗?


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