初入数据结构之二叉树详解

什么叫做树?

树是一种重要的非线性数据结构,直观地看,它是数据元素(在树中称为结点)按分支关系组织起来的结构,很象自然界中的树那样。树结构在客观世界中广泛存在,如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树形象表示。

树的特点

1.有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点
2.除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
3.树是递归定义的。

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树形结构


树的相关概念

初入数据结构之二叉树详解

 

1.结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6


2.树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6


3.叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶结点


4.双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点


5.孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点


6.根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A


7.结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推


8.树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4


树的以下概念只需了解,在看书时只要知道是什么意思即可:


1.非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支结点


2.兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点


3.堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点


4.结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先


5.子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙


6.森林:由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林
 


 

 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

 

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孩子兄弟表示法,从表面意思指的便是每个节点有两个域,分别表示自己的孩子和兄弟。孩子兄弟表示法,采用的是链式存储结构,其存储树的实现思想是:从树的根节点开始,依次用链表存储各个节点的孩子节点和兄弟节点。 

初入数据结构之二叉树详解

上图能清楚的了解孩子兄弟表示法的过程 

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

代码的实现 

 树的应用

文件系统管理(目录和文件)

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二叉树

什么是二叉树?

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树右子树的二叉树组成

初入数据结构之二叉树详解

1.一棵树如果是二叉树,那么他的所有节点都是二叉树

2.二叉树不存在度大于2的结点
3. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

 注意:二叉树并不都是由完整的根节点 左子树 右子树 组成 ,例如:

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两种特殊的二叉树 

1.满二叉树

一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵
二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。

2.

完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 初入数据结构之二叉树详解


二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为初入数据结构之二叉树详解 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子

n0=n2+1

这个公式极其重要,二叉树的叶子节点比度为2的节点多一个

 推导过程:

1.假设一颗二叉树有N个节点,又因为任何一颗二叉树都是由 n0 n1 n2组成,即 N=n0+n1+n2 ①

2.对任何一棵树而言,如果有N个节点就会产生N-1条边 ②

3.n0:对于n0来说,不能产生任何一条边,即n0-> 0 ③

4.n1:对于n1来说,能向下产生1条边,即n0-> 1 * n1 ④

5.n2:对于n2来说,能向下产生两条边,即n0-> 2 * n2 ⑤

由②③④⑤得:N-1 = 0 + n1 + 2 * n2 ⑥

由①和⑥得: n0 + n1 + n2 = 1 + n1 + 2 * n2  --》n0 = n2 + n1


下篇会介绍二叉树的三种遍历方式

未完待续。。。

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