普通组合恒等式
练习 \(\LaTeX\)！
\[{n \choose k}={n \choose n-k}
\]
\[\sum_{i=0}^n {n \choose i}=2^n
\]
废话
\[{n \choose k}{k \choose m}={n \choose m}{n-m \choose k-m}={n \choose k-m}{n-k+m \choose m}(n \geq k \geq m)
\]
就是换个顺序
\[k{n \choose k}=n{n-1 \choose k-1}
\]
n个取k个，先看第k个取出来的是啥，然后就有\(n{n-1 \choose k-1}\)，但是是组合不是排列，所以除k去重，移项
\[{n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}
\]
\[\sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i}=0（n \geq 1)
\]
\[\sum_{i=m}^n {i \choose m}={n+1 \choose m+1}
\]
用杨辉三角很好理解
\[\sum_{i=n}^n+m {k \choose i}={n+m+1 \choose k+1}-{n \choose k+1}
\]
就是第7个作差
\[\sum_{i=0}^p {n \choose i}{m \choose p-i}={n+m \choose p}
\]
把两部分合起来