函数的拆分

2024-03-24 22:05:04

前言

拆分策略

当研究函数$y=e^x-kx$ $(x>0)$ 的零点情况时，思路一可以考虑直接利用导数来研究，当然需要相当的精力和时间付出；思路二如果将$y=e^x-kx$的零点问题转化为函数$y=kx$与函数$y=e^x$的位置关系问题，就容易的多。

利用上述的动态图像，我们可以看到，

当函数$y=e^x-kx$没有零点时，对应的另外两个函数图像的位置关系是相离；

当函数$y=e^x-kx$只有一个零点[不变号零点]时，对应的另外两个函数图像的位置关系是相切；

当函数$y=e^x-kx$有两个零点[变号零点]时，对应的另外两个函数图像的位置关系是相交；

试函数$f(x)=e^x-kx$ $(x>0)$ 的零点情况。

法1：导数法，$f'(x)=e^x-k$，

高阶应用

\[\require{AMScd} \begin{CD} \left.\begin{array}{l}{函数y=f(x)有n个}\\{零点，包含变号零点}\\{和不变号零点}\end{array}\right.\quad @>{\Rightarrow 从数到数}>{\Leftarrow 从数到数}>\quad \left.\begin{array}{l}{方程f(x)=0}\\{有n个不同的根}\end{array}\right.\quad@>{\Rightarrow 从数到形}>{\Leftarrow 从形到数}>\quad\left.\begin{array}{l}{函数y=f(x)与y=0的}\\{图像有n个不同的交点}\\{包含穿根交点和相切交点}\end{array}\right. \end{CD} \]

已知函数 $f(x)=\cfrac{e^x}{x^2}-k(\cfrac{2}{x}+\ln x)$，若$x=2$ 是函数 $f(x)$ 的唯一极值点，则实数 $k$ 的取值范围为【】

$A.(-\infty,e]$ $B.[0,e]$ $C.(-\infty,e)$ $D.[0,e)$

分析 : 先求定义域为$(0,+\infty)$，由于$f(x)=\cfrac{{e}^{x}}{x^{2}}-k(\cfrac{2}{x}+\ln x)$，

则$f'(x)=\cfrac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}-k(-\cfrac{2}{x^2}+\cfrac{1}{x})$ [此处，求导变形是大难点]

$=\cfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 2}{x^3}+\cfrac{2k}{x^2}-\cfrac{k}{x}$

$=\cfrac{xe^x-2e^x}{x^3}+\cfrac{2kx}{x^3}-\cfrac{kx^2}{x^3}$

$=\cfrac{(x-2)e^x}{x^3}-\cfrac{kx^2-2kx}{x^3}$

$=\cfrac{(x-2)e^x}{x^3}-\cfrac{kx(x-2)}{x^3}$

故得到，$f'(x)=\cfrac{x-2}{x^{3}}(e^x-kx)$，

又由于 $x=2$ 是函数$f(x)$ 的唯一极值点，故$x=2$ 是 $f'(x)=0$的唯一的根[不是切点根]，

[辅助说明，我们令$f'(x)=\cfrac{x-2}{x^{3}}(e^x-kx)=0$时，必须让$x-2=0$，由于$x^3>0$，故需要$e^x-kx>0$或者$e^x-kx<0$，但是当$e^x-kx<0$，就会产生另外的极值点，故需要$e^x-kx>0$且$e^x-kx=0$，当$e^x-kx=0$时，虽说方程会多出了解，但是其不是原函数的极值点，原因是此时对应的解是切点根]

故需要${e}^{x}-kx \geqslant 0$注意，只要是相切为零的情形，即使为零也是满足题意的，只要不是相交为零即可。$\quad$ 在 $(0,+\infty)$上恒成立，

题目求解到此处，可以考虑用以下三种思路中的任意一种求解都是可以的：

思路1：从数的角度分析，令$g(x)={e}^{x}-kx(x>0)$，只需要$g(x)_{min}\geqslant 0$，或另解此处也可转化为$kx\leqslant e^x$，即$k\leqslant \cfrac{e^x}{x}$来求解，此时只需要借助导数工具，求解$\cfrac{e^x}{x}$在$x>0$上的最小值即可，其实$(\cfrac{e^x}{x})_{min}=e$

由于$g'(x)=e^x-k$，且$x>0$，分类讨论如下：

当$k\leqslant 0$时，$g'(x)=e^x-k>0$恒成立，故函数$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，

由于$g(0)=1$，故$g(x)\geqslant 0$恒成立；

当$k>0$时，令$g'(x)=e^x-k=0$，则得到$x=ln k$，

故当$x\in(0,lnk)$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减，

当$x\in(lnk,+\infty)$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增，

$g(x)_{min}=g(lnk)=k-klnk$，由$k-klnk\geqslant 0$，解得$0<k\leqslant e$，

综上所述，$k\leqslant e$，故选$A$；

思路2：从形的角度分析，由$e^x-kx\geqslant 0$恒成立，

采用完全分离参数的方法，得到，$k\leqslant \cfrac{e^x}{x}$在$(0,+\infty)$上恒成立，

令$h(x)=\cfrac{e^x}{x}$，需要求$k\leqslant h(x)_{min}$，

又由于$h'(x)=\cfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\cfrac{e^x(x-1)}{x^2}$，

当$x\in (0,1)$时，$h'(x)<0$，$h(x)$单调递减，当$x\in (1,+\infty)$时，$h'(x)>0$，$h(x)$单调递增，

故$h(x)_{min}=h(1)=e$，故$k\leqslant e$，故选$A$；

思路3：从形的角度分析，由$e^x-kx\geqslant 0$恒成立，

采用不完全分离参数的方法，得到，$e^x\geqslant kx$在$(0,+\infty)$上恒成立，

当$k\leqslant 0$时，显然满足$e^x> kx$在$(0,+\infty)$上恒成立，

当$k>0$时，包括在曲线$y=e^x$和直线$y=kx$相切的情形下，都满足$e^x\geqslant kx$在$(0,+\infty)$上恒成立，

关键时求解曲线$y=e^x$和直线$y=kx$相切时的斜率$k_0$，

设相切时的切点为$P(x_0，y_0)$，则有

$\left\{\begin{array}{l}{y_0=e^{x_0}}\\{y_0=k_0x_0}\\{e^{x_0}=k_0}\end{array}\right.$ ，可求解得到$x_0=1$，$y_0=e$，$k_0=e$，

故$k\leqslant e$，故选$A$；

码农公寓

前言

拆分策略

高阶应用

相关文章