随机变量笔记
随机变量：赋予实验结果a一个数，记为X（a）。如下两个列子加以说明：
（1） 在掷骰子的游戏中，可能的实验结果有六种，记为
f
i
f_{i}
fi。赋予每个实验结果一个量
f
i
=
10
∗
i
f_i=10*i
fi=10∗i，也即
f
1
f_1
f1=10等等。
（2） 同样的实验中，我们赋予奇数为1，偶数为0。也就再次的到了一组随机变量。
具体的定义为：随机变量
X
X
X是对指定一个数
a
a
a，
X
（
a
）
X（a）
X（a）的过程。
分布函数和概率密度函数
在集合
S
S
S中，组成事件
{
X
≤
x
}
\lbrace X\leq x \rbrace
{X≤x}的元素随
x
x
x的取值不同而变化。事件
{
X
≤
x
}
\lbrace X\leq x \rbrace
{X≤x}的概率
P
{
X
≤
x
}
P\lbrace X\leq x \rbrace
P{X≤x}是依赖
x
x
x的一个数。这个数表示为
F
x
(
x
)
F_x(x)
Fx(x)并称它为变量
x
x
x的分布函数。
定义：随机变量
x
x
x的分布函数
F
(
x
)
=
P
{
X
≤
x
}
F_(x) =P\lbrace X\leq x \rbrace
F(x)=P{X≤x}
是定义在
−
∞
-\infty
−∞到
+
∞
+\infty
+∞上的函数。
列1:在抛硬币的实验中，出现正面（h）的概率等于P，出现反面（t）的概率为q我们定义随机变量
X
X
X满足
X
(
h
)
=
1
X(h) = 1
X(h)=1
X
(
t
)
=
0
X(t)=0
X(t)=0
求该随机变量的分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)，其中
x
ϵ
(
−
∞
，
+
∞
)
x\epsilon(-\infty，+\infty)
xϵ(−∞，+∞)
若
x
≥
1
x\geq1
x≥1，则
X
(
h
)
=
1
≤
X(h)=1\leq
X(h)=1≤
x
x
x,
分
布
函
数
F
(
x
)
分布函数F(x)
分布函数F(x)的概率为1
其余两种情况分类讨论即可。
分布函数的性质
- F ( + ∞ ) F(+\infty) F(+∞)=1
- F ( + ∞ ) F(+\infty) F(+∞)=0
- 它是 x x x的非降函数
- 如果 F ( x 0 ) = 0 F(x_0)=0 F(x0)=0,那么对于每个 x ≤ x\leq x≤ x 0 x_0 x0， F ( x ) = 0 F(x)=0 F(x)=0
- P { X > x } = 1 − F ( x ) P\{X>x\}=1-F(x) P{X>x}=1−F(x)
- 函数 F ( x ) F(x) F(x)是右连续的
- P ( x 1 < X ≤ P(x_1<X\leq P(x1<X≤ x 2 ) = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) x_2)=F(x_2)-F(x_1) x2)=F(x2)−F(x1)
概率密度函数
定义：一个随机变量
X
X
X的分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)的导数称为该随机变量的概率密度函数，记为：
f
x
(
x
)
f_x(x)
fx(x)，也就是说
f
x
=
d
F
x
(
x
)
d
x
f_x=\frac {dF_x(x)}{dx}
fx=dxdFx(x)
从分布函数
F
x
(
x
)
F_x(x)
Fx(x)的单调非减性，概率密度函数满足：
∀
\forall
∀
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
x\in(-\infty,+\infty)
x∈(−∞,+∞)
f
x
=
d
F
x
(
x
)
d
x
=
lim
Δ
x
→
∞
F
x
(
x
+
Δ
x
)
−
F
x
(
x
)
Δ
x
≥
0
f_x=\frac {dF_x(x)}{dx}=\lim_{\Delta{x} \to \infty} \frac{F_x(x+\Delta{x})-F_x(x)}{\Delta{x}} \quad{\ge}0
fx=dxdFx(x)=Δx→∞limΔxFx(x+Δx)−Fx(x)≥0