比值判别法 设
Σ
n
=
1
∞
a
n
\Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n
Σn=1∞an为正项级数，且
l
i
m
n
−
>
∞
a
n
+
1
a
n
=
q
lim_{n->\infty} {a_{n+1}\over a_n}=q
limn−>∞anan+1=q,则有
- 当 0 < = q < 1 0<=q<1 0<=q<1时，级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an收敛
- 当 q > 1 q>1 q>1时，级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an发散
（比较判别法的极限形式）设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an和 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1∞bn均为正项级数，且 l i m n − > ∞ a n b n = l lim_{n->\infty} {a_n \over b_n}=l limn−>∞bnan=l
- 当 0 < l < ∞ 0<l<\infty 0<l<∞时，级数 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an和 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1∞bn有相同的敛散性；
- 当 l = 0 l=0 l=0时，如果级数 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1∞bn收敛,那么 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an收敛
- 当 l = ∞ l=\infty l=∞时，如果级数 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1∞bn发散，那么 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an发散
(根值判别法）设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an为正项级数，且 l i m n − > ∞ a n = q lim_{n->\infty} \sqrt {a_n}=q limn−>∞an =q,则有
- 当 0 < = q < 1 0<=q<1 0<=q<1时，级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an收敛
- 当 q > 1 q>1 q>1时，级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞an发散