看到多元函数条件极值的题目，常用拉格朗日乘数法对号入座。但有时候如坐针毡，因为这种看似万能的方法计算量太大了。解方程解的生无可恋是常态。所以我总结了一些解条件极值的小技巧，希望对大家有所帮助。
总的来说，思路分为五种：
1.从前几个式子中找出 x,y,z 之间的关系，然后带入到
φ
(
x
,
y
,
z
)
=
0
\varphi (x,y,z)=0
φ(x,y,z)=0 中解出来；
2.先求出
λ
\lambda
λ 的值，化简式子。
3.目标函数的极值可以用
λ
\lambda
λ 表示，然后只用求
λ
\lambda
λ 即可；
4.转换目标函数，使拉氏函数变的简单。
5.降维转变为一元函数求极值。
以下八种技巧都是围绕上面五点进行展开的。
(文末彩蛋：利用不等式解最值)
技巧一：硬核作差法
先用二元函数举例来说明此技巧：
技巧简介：
这个方法可以去除
λ
\lambda
λ，进而转变为不含
λ
\lambda
λ的式子，再与
φ
(
x
,
y
)
=
0
\varphi(x,y)=0
φ(x,y)=0 配合（两个方程，两个未知数），从而解出
x
,
y
x,y
x,y。例题如下所示：
例题一：
通过该方法，可以轻松得到
x
,
y
x,y
x,y 之间的关系，此时再带入到
x
2
y
2
−
x
4
−
y
2
=
0
x^{2}y^{2}-x^{4}-y^{2}=0
x2y2−x4−y2=0 中，即可解出对应的
x
,
y
x,y
x,y 。
对于三元函数类似，只不过这时候要作差两次，如下例题：
例题二：
此时作差了两次，这里需要注意作差的式子要灵活选择，选取不当会导致计算量增大。
比如本题如果选择
：
L
x
′
φ
y
′
−
L
y
′
φ
x
′
： L_{x}^{'}\varphi_{y}^{'}-L_{y}^{'}\varphi_{x}^{'}
：Lx′φy′−Ly′φx′和
L
y
′
φ
z
′
−
L
z
′
φ
y
′
L_{y}^{'}\varphi_{z}^{'}-L_{z}^{'}\varphi_{y}^{'}
Ly′φz′−Lz′φy′ 则不容易解出来。
另外需要注意这种解法不会漏解，但是有可能会增解。例如本题
x
=
±
10
，
y
=
z
=
0
x=\pm\sqrt{10}，y=z=0
x=±10
，y=z=0 就是多出来的解。
技巧二：单项连等法
目标函数是 f ( x , y , z ) = m x a y b z c f(x,y,z)=mx^{a}y^{b}z^{c} f(x,y,z)=mxaybzc 时（ m , a , b , c 均 不 为 0 m,a,b,c 均不为0 m,a,b,c均不为0），可以尝试使用。
例题三：
就是构造出相等的项，将其放在等号一边之后连等就可以了。该方法可以通过讨论消除
λ
\lambda
λ ，进而变成不含
λ
\lambda
λ 的连等式或直接得到
λ
=
0
\lambda =0
λ=0 。其中本题的连等式可以写成两个等式，因此本题也可以看成是变成了三个方程三个未知数的形式。
即：
1.
x
2
a
2
=
y
2
b
2
;
2.
y
2
b
2
=
z
2
c
2
;
3.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
−
1
=
0
1. \frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{y^{2}}{b^{2}} ;2. \frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}} ;3. \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1=0
1.a2x2=b2y2;2.b2y2=c2z2;3.a2x2+b2y2+c2z2−1=0
技巧三：对称作差法：
目标函数 f 和约束条件中的
φ
\varphi
φ关于
y
=
x
y=x
y=x 或
z
=
x
z=x
z=x 对称，则可以考虑使用。
函数关于
y
=
x
y=x
y=x 对称，就是互换函数中的
x
x
x 和
y
y
y 表达式不变。关于
z
=
x
z=x
z=x 对称同理。
技巧简述：
1.
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z) 和
φ
(
x
,
y
,
z
)
\varphi(x,y,z)
φ(x,y,z)关于
y
=
x
y=x
y=x对称：
我们需要做的是让
L
x
′
=
0
L_{x}^{'}=0
Lx′=0 减去
L
y
′
=
0
L_{y}^{'}=0
Ly′=0 ，得到的式子可以变形成：
(
y
−
x
)
(
整
式
)
=
0
(y-x)(整式)=0
(y−x)(整式)=0 ，从而简化计算。同时如果其中有 y≠x 的解，则将它的
x
，
y
x，y
x，y 互换后则是另一个解。
例如：
(
x
,
y
,
z
)
=
(
a
,
b
,
c
)
(x,y,z)=(a,b,c)
(x,y,z)=(a,b,c)是其中一个解，那么
(
x
,
y
,
z
)
=
(
b
,
a
,
c
)
(x,y,z)=(b,a,c)
(x,y,z)=(b,a,c) 一定也是另一个解。
2.若
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z) 和
φ
(
x
,
y
,
z
)
\varphi(x,y,z)
φ(x,y,z)关于
y
=
z
y=z
y=z 对称：
则让
L
y
′
=
0
减
去
L
z
′
=
0
L_{y}^{'}=0 减去 L_{z}^{'}=0
Ly′=0减去Lz′=0 ，得到的式子可以变形成：
(
y
−
z
)
(
整
式
)
=
0
(y-z)(整式)=0
(y−z)(整式)=0 。同时如果其中有
y
≠
z
y≠z
y=z 的解，则将它的
y
,
z
y,z
y,z 互换后则是另一个解。
2.若
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z) 和
φ
(
x
,
y
,
z
)
\varphi(x,y,z)
φ(x,y,z)即关于
y
=
x
y=x
y=x 对称又关于
y
=
z
y=z
y=z 对称：
同时进行上面两个操作。
例题四：
本题使用该技巧变形成了
(
x
−
y
)
(
2
λ
−
z
3
)
=
0
(x-y)(2\lambda-z^{3})=0
(x−y)(2λ−z3)=0 ，但
2
λ
−
z
3
=
0
2\lambda-z^{3}=0
2λ−z3=0 是不成立的，因此可以得到
y
=
x
y=x
y=x 这个式子。这也是很多人所说的取巧的方法：若
f
f
f 和
φ
\varphi
φ 关于
y
=
x
y=x
y=x 对称，则就可以得到
y
=
x
y=x
y=x 这个式子。这个方法虽然有时候非常有效，但是有点像赌博，就是赌后面乘的那个式子不能为0。
当然，本题由于目标函数是
x
y
z
3
xyz^{3}
xyz3 ，因此直接用技巧二也能算出来，并且更简单，有兴趣的小伙伴可以自行做下。
技巧四：行列式求解法：
如果求出来的 L x ′ = 0 , L y ′ = 0 L_{x}^{'}=0 , L_{y}^{'}=0 Lx′=0,Ly′=0 , L z ′ = 0 L_{z}^{'}=0 Lz′=0 组成的为线性方程组，则可以根据线性代数知识解决，以题为例，如下所示：
例题五：
由于 x 2 + y 2 + z 2 − 10 = 0 x^{2}+y^{2}+z^{2}-10=0 x2+y2+z2−10=0的存在，将导致 x , y , z x,y,z x,y,z 不可能同时为0，因此 ( 1 ) ( 3 ) (1)~(3) (1) (3)式所组成的线性方程组一定有非0解，因此就是系数行列式为0，即可将 λ \lambda λ 解出，减少未知数的个数，进而容易求解。
技巧五：齐次构造法
如果目标函数
f
f
f 是齐次的，同时约束条件可以转化成齐次函数
g
(
x
,
y
,
z
)
=
c
g(x,y,z)=c
g(x,y,z)=c 的形式。
齐次函数说白了，就是每一项中变量的指数和都相等。 比如：
g
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
+
x
y
g(x,y)=x^{2}+y^{2}+xy
g(x,y)=x2+y2+xy 就是2次齐次函数
技巧简述：
若此时目标函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 为 m m m次齐次函数， g ( x , y , z ) g(x,y,z) g(x,y,z) 为 n n n次齐次函数 ( m , n ≠ 0 ) ( m,n≠0 ) (m,n=0)，则可以构造出这个式子： f ( x , y , z ) = − c n m λ f(x,y,z)=-\frac{cn}{m}\lambda f(x,y,z)=−mcnλ 。此时再求出 λ \lambda λ 的值即可求出目标函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 的最值。
构造原理：
所以该方法只需求 λ \lambda λ 即可，但是有时候 λ \lambda λ 并不好求。但有一种情况 λ \lambda λ 好求：求出来的 L x ′ = 0 , L y ′ = 0 , L z ′ = 0 L_{x}^{'}=0 , L_{y}^{'}=0 , L_{z}^{'}=0 Lx′=0,Ly′=0,Lz′=0组成的为线性方程组时。因为这个时候可以用行列式解出 λ \lambda λ (技巧四)。
例题六：
由此可见，在这种情况下，能够很快的求出我们的最值。但如果想要求最值点的话，就要麻烦一些了。
技巧六：目标函数转换法
如果可导函数
g
(
x
)
g(x)
g(x) 在目标函数值域内是单调的。那么求目标函数的极值点可以转化为求
g
(
目
标
函
数
)
g(目标函数)
g(目标函数) 的极值点。
比如求
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
f(x,y)= \sqrt{x^{2}+y^{2}}
f(x,y)=x2+y2
在
φ
(
x
,
y
)
=
0
\varphi(x,y)=0
φ(x,y)=0 下的极值点，可以转变为求
[
f
(
x
,
y
)
]
2
=
x
2
+
y
2
在
φ
(
x
,
y
)
=
0
[f(x,y)]^{2}=x^{2}+y^{2} 在 \varphi(x,y)=0
[f(x,y)]2=x2+y2在φ(x,y)=0 下的极值点。其中
g
(
x
)
=
x
2
g(x)=x^{2}
g(x)=x2 ，其可导且在
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 值域内
(
[
0
,
+
∞
)
)
( [0,+\infty) )
([0,+∞))单调递增。
例题七：
该技巧需要注意，求出来极值点后要带入到目标函数中得到极值，而不是带入到
g
(
目
标
函
数
)
g(目标函数)
g(目标函数) 中，这点需要注意。
本题也可以设
g
(
x
)
=
1
x
g(x)=\frac{1}{x}
g(x)=x1 ，此时可以转变为求
x
y
z
xyz
xyz 的极值点即可。
技巧七：带入降维法：
把约束条件 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0看成一个隐函数，如果这个隐函数可以显化，则可以将显化后的函数带入到目标函数中，进而可以"降维"成一元函数，从而利用一元函数知识求极值（求导，单调性）。
例题八：
技巧八：参数降维法：
若约束条件中的 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 ，可以转变成形如： a x 2 + b y 2 = 1 ax^{2}+by^{2}=1 ax2+by2=1 (其中a,b大于0)，则可以设 x = c o s θ a x=\frac{cos\theta}{\sqrt{a}} x=a cosθ , y = s i n θ b y=\frac{sin\theta}{\sqrt{b}} y=b sinθ ，再带入到目标函数中，继而解决问题。
例题九：
彩蛋技巧：不等式求解法
数学基础比较好的可以了解此方法：
就是直接用不等式解决最值问题，简单粗暴。
例题十：
例题十一：
到这里方法基本就讲完了，但是我还想补充几点：
1.技巧是死的，人是活的，在解题中要灵活的运用技巧。选择合适的技巧和方法尤为重要，而如何合适选择，则要根据自己的经验来确定。因此如果这块比较薄弱，那么建议多做这块的题，然后结合本篇文章再进行归纳和总结，生成自己的经验与技巧。
2.解题时，有可能会出现增解的情况，例如技巧一中的情况。所以平时解出极值点之后，建议再带点到每个方程中演算一下。这样也能检查自己的结果是否正确，是一个比较好的习惯。
3.暑假接近尾声。后半程的复习，就不光是要求速度，还要要求质量，做好针对基础和题目的查漏补缺工作，才是解题能力提升的最坚实阶梯。