实验3.1
1 实验目的
1.1 实验3.1:分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分，并与精确积分值相比较，探讨两类积分公式的精度。
2 实验内容
编写相应的M文件实现下列问题：
分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分，并与精确积分值相比较，探讨两类积分公式的精度。
（1），将区间8等分；
（2），将区间4等分；
（3），将区间6等分；
3 实验知识点
3.1 复化梯形公式与复化Simpson公式求积分。
3.2 求积函数计算定积分
4 算法思想
3.1 复化梯形公式
3.2 复化Simpson公式
5 实验代码及结果
（一）实验3.1
5.1 
，将区间8等分；
5.1.1复化梯形求积分
代码
T_quad.m
function [In,er]=T_quad(a,b,n)
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
y=x./(x+4.^2);
c=[1 2*ones(1,n-1),1];
In=h/2*sum(c.*y);
I=quad(f,a,b,1e-5)
er=abs(I-In);
In,er
f.m
function f=f(x)
f=inline('x./(x+4.^2)')
%f=inline('sqrt(x)');
%f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')
运行结果
5.1.2复化Simpson公式求积分
代码
复合辛普森方法函数如下：
function s=simpsion(f,a,b,n)
%复化辛普森公式求积分.
h=(b-a)/n;
x=linspace(a,b,2*n+1);
y=feval(f,x);
s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));
end
运行结果
5.2 
，将区间4等分
5.2.1复化梯形公式求积分
代码
T_quad.m
function [In,er]=T_quad(a,b,n)
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
y=sqrt(x);
c=[1 2*ones(1,n-1),1];
In=h/2*sum(c.*y);
I=quad(f,a,b,1e-5)
er=abs(I-In);
In,er
f.m
function f=f(x)
%f=inline('x./(x+4.^2)')
f=inline('sqrt(x)');
%f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')
运行结果
5.2.2复化Simpson公式求积分
代码
复合辛普森方法函数如下：
function s=simpsion(f,a,b,n)
%复化辛普森公式求积分.
h=(b-a)/n;
x=linspace(a,b,2*n+1);
y=feval(f,x);
s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));
end
运行结果
5.3 
，将区间6等分
5.3.1复化梯形公式求积分
代码
T_quad.m
function [In,er]=T_quad(a,b,n)
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
y=sqrt(4-(sin(x)).^2);
c=[1 2*ones(1,n-1),1];
In=h/2*sum(c.*y);
I=quad(f,a,b,1e-5)
er=abs(I-In);
In,er
f.m
function f=f(x)
%f=inline('x./(x+4.^2)')
%f=inline('sqrt(x)');
f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')
运行结果
5.3.2复化Simpson公式求积分
代码
function s=simpsion(f,a,b,n)
%复化辛普森公式求积分.
h=(b-a)/n;
x=linspace(a,b,2*n+1);
y=feval(f,x);
s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));
end
结果
6 实验结果分析
由复化梯形公式和复化辛普森公式两种方法求解可以看出，两种方法得到的结果相差不是很大。但在一般情况下，当分开的区间数n相等时，复化辛普森得到的结果比复化梯形公式得到的结果更加准确。若想通过复化梯形公式求解得到复化辛普森求解的精确值，就需要选取更大的n，即划分成更多的区间进行求解。
实验3.2
1 实验目的
已知地球卫星飞行轨迹、部分距离及轨迹周长计算公式等信息，选用适当的求积函数计算定积分，求解卫星轨迹长度。
2 实验内容
地球卫星飞行轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是:
式中，a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离。令h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km)为地球半径，则
我国第一颗人造地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=3484km,试求卫星轨道长度。
3 实验知识点
在科学研究和工程技术中，经常遇到积分的计算，虽然有些函数的不定积分可以求出其初等函数表示式，但有更多的函数，它们的不定积分不是初等函数，这样就无法利用牛顿莱布尼兹公式求出其定积分，甚至经常遇到只知道函数在一些离散点的值，但函数表达式未知的情况，在上述情况下就必须以数值方法求定积分的近似值。用数值方法求定积分的近似值，通常称为数值积分。
4 算法思想
龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法，在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。
5 实验代码
代码：
R=6371;
h=439;
H=3484;
a=(2*R+H+h)/2;
c=(H-h)/2;
syms theta
f=sqrt(1-(c/a)^2*sin(theta)^2);
s=a*int(f,theta,0,pi/2);
s=double(vpa(s))