关于分级火箭的一点理想化的计算

一分级火箭，有 \(M_1\) 质量的外壳，运载 \(M_0\) 质量的载荷。火箭被 \(n\) 个重量为均为 \(M_2\) 的分级装置均匀地分为 \(n+1\) 级，每燃烧完 \(\frac{M}{n+1}\) 质量的燃料，火箭就会抛弃一个分级装置和 \(\frac{M_1}{n+1}\) 质量的外壳（最后一次，即燃料烧完时除外）。

火箭使用一种推重比为 \(\eta\ (\eta>1)\) 的燃料，也就是说质量为 \(m\) 的燃料一瞬间完全燃烧可以推动 \(\eta m\) 质量的物体运动一瞬间。火箭瞬时的燃料消耗速度因此与火箭的瞬时总质量成正比，比值为 \(\eta\) 。推动火箭运行 \(T\) 的时间，需装填 \(M\) 质量的初始燃料。

已知 \(M_0,\ M_1,\ M_2,\ \eta,\ T,\ n\) ，求解初始燃料质量 \(M\) 。

1.分阶段

​ 记各级的开始时间点为：

\[0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n<t_{n+1}=T \]

其中 \(t_0\) 总的开始，\(t_{n+1}\) 为总的结束。

​ 称时间段 \([t_k,t_{k+1}]\) 为第 \(k\) 阶段， \(0\leqslant k \leqslant n\) 。

2.计算燃料函数

​ 记第 \(k\) 阶段除燃料之外的质量总共为：

\[M_{\times}(k)=M_0+\frac{n+1-k}{n+1}M_1+(n-k)M_2 \]

设火箭该阶段燃料质量关于时间的函数为 \(m_k(t)\) ，根据“火箭瞬时的燃料消耗速度与火箭的瞬时总质量成正比”，列出方程：

\[\frac{\text{d}m_k}{\text{d}t}=-\frac{1}{\eta}(m_k+M_{\times}(k)) \]

令 \(u=\frac{\text{d}m_k}{\text{d}t}\) （注意到 \(u<0\) ），并将上式两边求导，则：

\[\frac{\text{d}u}{\text{d}t}=-\frac{1}{\eta}u \]

分离变量：

\[\frac{\text{d}u}{u}=-\frac{1}{\eta}\text{d}t \]

两边积分：

\[\ln \lvert u\rvert =-\frac{1}{\eta}t+C_1 \]

两边对 \(e\) 取幂，注意 \(u<0\) ：

\[u=-e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1} \]

对 \(u\) 积分得出 \(m_k\) ：

\[m_k=\int{u\text{d}t}=\int{-e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1}\text{d}t} =\eta e^{-\frac{1}{\eta}t+C_1}+C_2 \]

​ 下面解出常数。注意到：

\[u=-\frac{1}{\eta}(m_k+M_{\times}(k)) \]

带入 \(u\) 和 \(m_k\) 就得到 \(C_2=-M_{\times}(k)\) 。又注意到第 \(k\) 阶段末尾，即第 \(k+1\) 阶段开头的燃料质量为 \(\frac{n-k}{n+1}M\) ，列出如下方程：

\[m_k(t_{k+1})=\frac{n-k}{n+1}M \]

带入：

\[\eta e^{-\frac{1}{\eta}t_{k+1}+C_1}-M_{\times}(k)=\frac{n-k}{n+1}M \]

为方便书写，临时记 \(M_x=\frac{n-k}{n+1}M+M_{\times}(k)\) ，于是：

\[\eta e^{-\frac{1}{\eta}t_{k+1}+C_1}=M_x \]

解得：

\[C_1=\ln\frac{M_x}{\eta}+\frac{1}{\eta}t_{k+1} \]

带入 \(C_1,C_2\) ，得到：

\[m_k(t) =\eta e^{-\frac{1}{\eta}t+\ln\frac{M_x}{\eta}+\frac{1}{\eta}t_{k+1}}-M_{\times}(k) \]

化简（注意代换掉临时量 \(M_x\) ），得到：

\[m_k(t)=\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right){e}^{\frac{t_{k+1}-t}{\eta}}-M_{\times}(k) \]

3.解出未知值

​ 我们用第 \(k\) 阶段末尾的状态解出了常数 \(C_1\) ，现在考虑第 \(k\) 阶段开头，有：

\[m_k(t_k)=\frac{n+1-k}{n+1}M \]

带入：

\[\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right){e}^{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}}-M_{\times}(k)=\frac{n+1-k}{n+1}M \]

化简：

\[{e}^{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}} =\frac{M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M}{M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M} \]

两边 \(\ln\) ，得到递推式：

\[\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta} =\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)} \]

累加，得到：

\[\frac{T}{\eta}=\frac{t_{n+1}-t_0}{\eta}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{t_{k+1}-t_k}{\eta}} =\sum_{k=0}^{n}{\left(\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)}\right)} \]

我们于是列出了关于未知数 \(M\) 的方程：

\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n+1-k}{n+1}M\right)}-\ln{\left(M_{\times}(k)+\frac{n-k}{n+1}M\right)}\right)}=\frac{T}{\eta} \]

就可以解出 \(M\) 的取值。