概率论知识回顾（一）

知识回顾

1. 什么是随机现象？随机事件的定理是什么？
2. 随机事件的三个特性是什么？
3. 什么是样本空间？样本点以及事件？
4. 什么是基本事件？
5. 频数、频率、和概率三者的区别是什么
6. $\bigcap_{i=1}^{n}A_i$⋂i=1n​Ai​ 是指什么？ $\bigcap_{i=i}^{\infty}A_i$⋂i=i∞​Ai​ 又是指什么？
7. $\bigcup_{i=1}^{n}A_i​$⋃i=1n​Ai​​ 是指什么？ $\bigcup_{i=1}^\infty A_i​$⋃i=1∞​Ai​​ 又是指什么？
8. 什么是对立事件或者逆事件？
9. A、B、C 中不多于一个事件发生怎么进行表示？
10. 用公式表示交换律，结合律，分类率以及德摩根律和通用德摩根律？
11. 频率$f_n(A)​$fn​(A)​的性质
12. 概率$P(A)$P(A)的性质
13. 证明：若 $A \subset B​$A⊂B​ 则有 $P(B-A) = P(B) - P(A)​$P(B−A)=P(B)−P(A)​ 且 $P(B) \ge P(A)$P(B)≥P(A)
14. 对任意两个事件 A、B。 $P(A\cup B) = ？$P(A∪B)=？
15. 对回顾14，多个事件的通用公式是什么？

知识解答

1. 什么是随机现象？随机事件的定理是什么？

   • 随机现象是指事情本身结果不可预知，但有其规律可循。

   • 定理：对于试验 E 的样本空间 Ω 的子集 A 称为 E 的随机事件。

2. 随机事件的三个特性是什么？

   • 可重复试验

   • 所有结果事先明确，且不止一个

   • 每次试验结果不可预知

3. 什么是样本空间？样本点以及事件？

   • 样本空间是指试验的所有可能结果的集合
   • 样本点是指样本空间中的单个结果
   • 事件是指样本空间的子集
   • 他们三者的关系应该是 ： $样本点 \subset 事件 \subset 样本空间​$样本点⊂事件⊂样本空间​

4. 什么是基本事件？

   • 由单个样本点组成的单点集事件被称为基本事件

5. 频数、频率、和概率三者的区别是什么？

   • 频数是指在多次试验中某个事件出现的次数
   • 而频率是某个事件在整体实验中出现的次数占整体试验次数的比例，因此在试验过程中频率的值会改变，如果试验次数多的话，频率可能会在概率周围浮动
   • 而概率是某个事件的客观出现的可能性，是一个固定值不因试验次数改变而改变
   • 频率和概率：频率是客观试验所得事件真实发生的比例，而概率是客观现实分析所得的事件发生可能性的固定值。

6. $\bigcap_{i=1}^{n}A_i​$⋂i=1n​Ai​​ 是指什么？ $\bigcap_{i=i}^{\infty}A_i​$⋂i=i∞​Ai​​ 又是指什么？

   • $\bigcap_{i=1}^{n}A_i​$⋂i=1n​Ai​​ 是指有限个事件的交集
   • $\bigcap_{i=i}^{\infty}A_i​$⋂i=i∞​Ai​​ 是指可数个事件的交集

7. $\bigcup_{i=1}^{n}A_i​$⋃i=1n​Ai​​ 是指什么？ $\bigcup_{i=1}^\infty A_i​$⋃i=1∞​Ai​​ 又是指什么？

   • $\bigcup_{i=1}^{n}A_i​$⋃i=1n​Ai​​ 是指 有限个 事件的并集
   • $\bigcup_{i=1}^\infty A_i​$⋃i=1∞​Ai​​ 是指 可数个 事件的并集

8. 什么是对立事件或者逆事件？

   • 对于一个事件来说,它的对立事件是指在整个样本空间中不属于该事件的所有样本点组成的事件
   • 对立事件满足下面的定理，比如$A​$A​和$\overline{A}​$A​ 有 $\begin{cases} \overline{A} \cup A = \Omega​ \\ \overline{A} A = \empty \end{cases}${A∪A=Ω​AA=∅​

9. A、B、C 中不多于一个事件发生怎么进行表示？

   • ${\overline A \overline B} \cup {\overline B \overline C} \cup {\overline A \overline C}$AB∪BC∪AC

10. 用公式表示交换律，结合律，分类率以及德摩根律和通用德摩根律？

    • 交换律 : $A \cup B = B \cup A ; AB = BA​$A∪B=B∪A;AB=BA​
    • 结合律 : $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) ; (AB)C = A(BC) ​$(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(AB)C=A(BC)​
    • 分配率 : $(A \cup B) \cap C = (AC) \cup (BC) ; (A \cap B) \cup C = (A \cup C)\cap(B \cup C)$(A∪B)∩C=(AC)∪(BC);(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
    • 德摩根律 : $\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B ; \overline{A \cap B} = \overline A \cup \overline B$A∪B=A∩B;A∩B=A∪B
    • 通用德摩根律 : $\overline{\bigcup_{i=1}^{n}A_i} = \bigcap_{i=1}^{n} \overline {A_i} ; \overline{\bigcap_{i=1}^{n}A_i} = \bigcup_{i=1}^{n} \overline {A_i}$i=1⋃n​Ai​​=i=1⋂n​Ai​​;i=1⋂n​Ai​​=i=1⋃n​Ai​​

11. 频率$f_n(A)​$fn​(A)​的性质

    • 非负性 ： $f_n(A) \ge 0$fn​(A)≥0
    • 规范性 ： $f_n(\Omega) = 1$fn​(Ω)=1
    • 有限可加性 ：如果$A_i 和A_j$Ai​和Aj​ 两两互不相容，则 $f_n(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = f_n(A_1) + f_n(A_2) + \cdots + f_n(A_n)$fn​(A1​∪A2​∪⋯∪An​)=fn​(A1​)+fn​(A2​)+⋯+fn​(An​)

12. 概率$P(A)$P(A)的性质

    • 非负性 ： $P(A) \ge 0​$P(A)≥0​
    • 规范性 ： $P(\Omega) = 1 ​$P(Ω)=1​
    • 可列可加性 ：如果$A_i 和A_j$Ai​和Aj​两两互不相交，则 $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots$P(A1​∪A2​∪⋯)=P(A1​)+P(A2​)+⋯

13. 证明：若 $A \subset B​$A⊂B​ 则有 $P(B-A) = P(B) - P(A)​$P(B−A)=P(B)−P(A)​ 且 $P(B) \ge P(A)​$P(B)≥P(A)​

    • 证明：

      $\because A \subset B \\ \therefore B = (B-A) \cup A \\ \therefore P(B) = P((B-A) \cup A) \\ \because 概率的可列可加性\space 以及(B-A) \cap AB = \empty \\ \therefore P(B) = P(B-A) + P(A) \\\therefore P(B-A) = P(B) - P(A) \\\because P(B-A) \ge 0 \\\therefore P(B) \ge P(A)$∵A⊂B∴B=(B−A)∪A∴P(B)=P((B−A)∪A)∵概率的可列可加性 以及(B−A)∩AB=∅∴P(B)=P(B−A)+P(A)∴P(B−A)=P(B)−P(A)∵P(B−A)≥0∴P(B)≥P(A)

14. 对任意两个事件 A、B。 $P(A\cup B) = ? ​$P(A∪B)=?​

    • $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)​$P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)​

15. 对回顾14，多个事件的通用公式是什么？

    • $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) \\ = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) - \sum_{1 \le i \le j \le n}{P(A_iA_j)} + \sum_{1 \le i \le j \le k \le n}{P(A_iA_jA_k)} + \cdots + (-1)^{n-1}P(A_1A_2\cdots A_n)$P(A1​∪A2​∪⋯∪An​)=∑i=1n​P(Ai​)−∑1≤i≤j≤n​P(Ai​Aj​)+∑1≤i≤j≤k≤n​P(Ai​Aj​Ak​)+⋯+(−1)n−1P(A1​A2​⋯An​)