洛谷P1522 [USACO2.4]牛的旅行 Cow Tours(Floyd最短路/好题)

题目描述

Farmer John 的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言,你能看到至少有两个牧区通过任何路径都不连通。这样,Farmer John 就有多个牧场了。

John 想在牧场里添加恰好一条路径。对这条路径有以下限制:

一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离(本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离)。考虑如下的有5个牧区的牧场,牧区用 * 表示,路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标:

                (15,15) (20,15)
                 D       E
                 *-------*
                 |     _/|
                 |   _/  |
                 | _/    |
                 |/      |
        *--------*-------*
        A        B       C
     (10,10)  (15,10) (20,10)

这个牧场的直径大约是 12.0710612.0710612.07106,最远的两个牧区是 A 和 E,它们之间的最短路径是 A→B→EA \to B \to EA→B→E。

这里是另一个牧场:

                         *F(30,15)
                        / 
                      _/  
                    _/    
                   /      
                  *------* 
                  G      H
                  (25,10)   (30,10)

在目前的情景中,他刚好有两个牧场。John 将会在两个牧场中各选一个牧区,然后用一条路径连起来,使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意,如果两条路径中途相交,我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交,我们才认为它们是连通的。

输入文件包括牧区、它们各自的坐标,还有一个如下的对称邻接矩阵:

:
  A  B  C  D  E  F  G  H 
A  0  1  0  0  0  0  0  0
B  1  0  1  1  1  0  0  0
C  0  1  0  0  1  0  0  0
D  0  1  0  0  1  0  0  0
E  0  1  1  1  0  0  0  0
F  0  0  0  0  0  0  1  0
G  0  0  0  0  0  1  0  1
H  0  0  0  0  0  0  1  0

其他邻接表中可能直接使用行列而不使用字母来表示每一个牧区。输入数据中不包括牧区的名字。

输入文件至少包括两个不连通的牧区。

请编程找出一条连接两个不同牧场的路径,使得连上这条路径后,这个更大的新牧场有最小的直径。输出在所有牧场中最小的可能的直径。

输入格式

第一行一个整数 NNN(1≤N≤1501 \leq N \leq 1501≤N≤150),表示牧区数。

接下来 NNN 行,每行两个整数 X,YX,YX,Y(0≤X,Y≤1050 \leq X ,Y \leq 10^50≤X,Y≤105),表示 NNN 个牧区的坐标。注意每个牧区的坐标都是不一样的。

接下来 NNN 行,每行 NNN 个数字,代表邻接矩阵。

输出格式

只有一行,包括一个实数,表示所求直径。数字保留六位小数。

只需要打到小数点后六位即可,不要做任何特别的四舍五入处理。

输入输出样例

输入 #1
8
10 10
15 10
20 10
15 15
20 15
30 15
25 10
30 10
01000000
10111000
01001000
01001000
01110000
00000010
00000101
00000010
输出 #1
22.071068
题意挺绕...整体的思想就是每个牧区相当于一个连通块(可dfs也可并查集),枚举每条能连接两个连通块的边(设边的两个顶点为x,y),用 这条边的长度 + x到其所在连通块其他点的最大距离 + y到其所在连通块其他点的最大距离 来更新答案。注意这里的最大距离是指“最长的最短路”,因为根据题意两个点之间的距离是这两个点的最短路,现在要找的是x到其他点的距离。
注意!这样只能得90分TwT因为有可能两个端点并不是原牧区直径的端点,而原牧区直径比较大,使得新联通的牧场还没有原来的牧场大,所以还要再取一遍最大值
#include <bits/stdc++.h>
#define N 155
using namespace std;
char mmap[155][155];
double a[155][155],n,cnt,dist[155]={0};//dist[i]存放i这个连通块的最大直径 
bool vis[155];
vector< vector<int> >v; //存储同一个连通块的点的集合
vector<pair<int,int> >v1; //存储联连接不同连通块的点对 
struct node
{
    int x;
    int y;
    int z;//zone 所属连通块
    double d;//该点与连通块内部的点的最长距离 
}p[N];
double calc(node p1, node p2)//计算两点间欧几里得距离 
{
    return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));
} 
void dfs(int x,int num)
{
    int i;
    p[x].z=num;
    v[num].push_back(x);//构造连通块点的集合 
    vis[x]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)//存储的时候下标是从0开始的 因此要偏移一下 
    {
        if(vis[i])continue;
        if(mmap[x-1][i-1]=='1')
        {
            vis[i]=1;
            dfs(i,num);
        }
    }
}
int main()
{
    cnt=0;//cnt为连通块数目 
    cin>>n;
    int i,j,k;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        vector<int>temp;
        v.push_back(temp);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
        p[i].z=0;
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%s",mmap[i]);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=i;j<=n;j++)
        {
            if(mmap[i-1][j-1]=='1'||i==j)
            {
                a[i][j]=a[j][i]=calc(p[i],p[j]);//两点邻接矩阵值为1时才计算距离 
            }
            else a[i][j]=a[j][i]=0x3f3f3f3f;//初始化为无穷大 方便跑Floyd 
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++)//划分连通块 
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            vis[i]=1;
            dfs(i,++cnt);
        }
    }
    for(k=1;k<=n;k++)//连通块内部的点求最短路 连通块之间更新距离 
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                if(p[i].z==p[j].z&&p[i].z==p[k].z)//三个点全属于一个连通块时才更新距离 
                {
                    a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
                }
                else
                {
                    if(i!=j&&p[i].z!=p[j].z) //找出所有可能添加的边(连接两个连通块 
                    {
                        v1.push_back(make_pair(i,j));
                        a[i][j]=calc(p[i],p[j]);//这里不需要松弛,直接计算距离即可 
                    }
                }
            }
        }//更新每个节点的d的值 
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        double temp=0;
        for(j=0;j<v[p[i].z].size();j++)
        {
            if(v[p[i].z][j]==i)continue;//是自己 
            temp=max(temp, a[i][  v[ p[i].z ][j] ]   );
        }
        p[i].d=temp;//找到每个连通块里的每个点到这个连通块的其他的点的最大距离 
    }
    double ans=1e9,maxd=0;//maxd是所有连通块里的最大直径 
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        dist[p[i].z]=max(dist[p[i].z],p[i].d);//找到连通块的直径 
        maxd=max(maxd,dist[p[i].z]);//更新所有连通块的最大直径 
    }
    for(i=0;i<v1.size();i++)
    {
        int x=v1[i].first,y=v1[i].second;
        ans=min(ans,a[x][y]+p[x].d+p[y].d);//枚举每条连接两个连通块的边 更新答案 
    }
    printf("%.6lf",max(ans,maxd)); 
    return 0;
}

 

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