例题：对下面的函数求导

$f(x) = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} - 2$f(x)=1+x​+1−x​−2

错误的求导过程

${f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}' ={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}' =\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x}} =\frac{1}{2 \sqrt{1+x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$f′(x)=(1+x​)′+(1−x​)′+2′=((1+x)21​)′+((1−x)21​)′=21​1+x​1​+21​1−x​1​=21+x​1​+21−x​1​

上面这个计算过程是错的，错误的原因是在计算 $\sqrt{1+x}$1+x​ 的导数时把 $1+x$1+x 视作了自变量，也就是说把 $1+x$1+x 视作了求导对象；而在对 $\sqrt{1-x}$1−x​ 求导时，又把 $1-x$1−x 看作了求导自变量。

很显然，一个二维函数中不可能有两个不同的自变量，而且根据约定可知，当式子中出现 $f(x)$f(x) 或者 $lim_{x \to 0}$limx→0​ 时，就表明这个式子中的自变量是 $x$x 且求导也要对 $x$x 求导。

正确的求导过程

这里我们可以使用复合函数求导的链式法则计算本例题，复合函数的链式求导法则如下：

设 $y = f(u), u = \mu(x)$y=f(u),u=μ(x), 如果 $\mu(x)$μ(x) 在 $x$x 处可导，$f(x)$f(x) 在对应点 $u$u 处可导，则复合函数 $y = f[\mu(x)]$y=f[μ(x)] 在 $x$x 处可导，且有：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = {f}'[\mu(x)]{\mu}'(x)$dxdy​=dudy​dxdu​=f′[μ(x)]μ′(x)

于是，对于例题的正确求导过程如下：

${f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}' ={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}' =\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}}\times{(x)}' + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}} \times {(-x)}' =\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$f′(x)=(1+x​)′+(1−x​)′+2′=((1+x)21​)′+((1−x)21​)′=21​(1+x)−21​+21​(1−x)−21​=21​(1+x)−21​×(x)′+21​(1−x)−21​×(−x)′=21+x​1​−21−x​1​