题意

百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。

假设有\(n\)个不同的球星名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？

分析

设凑齐\(i\)个球星的期望次数为\(f[i]\)。

①当\(i=0\)时，\(f[i]=0\)

②假设当前已经求出\(f[i]\)，现在要求\(f[i+1]\)

对于当前已经有\(i\)个球星的名字，再拿一瓶可乐，得到新的名字的概率为\({n-i\over n}\)

因为概率为期望的倒数，所以得到新的名字的期望次数为\(n\over n-i\)

\(\therefore f[i+1]=f[i]+{n\over n-i}\)

\(\therefore f[n]=f[n-1]+{n\over 1}\\=f[n-2]+{n\over 2}+{n\over 1}\\=...\\=f[0]+\sum_{i=1}^n{n\over i}=n\times \sum_{i=1}^n{1\over i}\)