BZOJ1014火星人prefix Splay維護序列 + 字符串哈希

2024-02-18 08:37:46

@[Splay, 哈希]

Description

火星人最近研究了一种操作：求一个字串两个后缀的公共前缀。比方说，有这样一个字符串：\(madamimadam\)，

我们将这个字符串的各个字符予以标号：

序号: \(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11\)

字符: \(m a d a m i m a d a m\)

现在，火星人定义了一个函数\(LCQ(x, y)\)，表示：该字符串中第x个字符开始的字串，与该字符串中第y个字符开始的字串

，两个字串的公共前缀的长度。比方说，\(LCQ(1, 7) = 5, LCQ(2, 10) = 1, LCQ(4, 7) = 0\) 在研究LCQ函数的过程

中，火星人发现了这样的一个关联：如果把该字符串的所有后缀排好序，就可以很快地求出LCQ函数的值；同样，如果求出了LCQ函数的值，也可以很快地将该字符串的后缀排好序。尽管火星人聪明地找到了求取LCQ函数的快速算法，但不甘心认输的地球人又给火星人出了个难题：在求取LCQ函数的同时，还可以改变字符串本身。具体地说，可以更改字符串中某一个字符的值，也可以在字符串中的某一个位置插入一个字符。地球人想考验一下，在如此

复杂的问题中，火星人是否还能够做到很快地求取LCQ函数的值。

Input

第一行给出初始的字符串。第二行是一个非负整数M，表示操作的个数。接下来的M行，每行描述一个操作。操

作有3种，如下所示

1、询问。语法：Qxy，x,y均为正整数。功能：计算LCQ(x,y)限制：1<=x,y<=当前字符串长度。

2、修改。语法：Rxd，x是正整数，d是字符。功能：将字符串中第x个数修改为字符d。限制：x不超过当前字

符串长度。

3、插入：语法：Ixd，x是非负整数，d是字符。功能：在字符串第x个字符之后插入字符d，如果x=0，则在字

符串开头插入。限制：x不超过当前字符串长度

Output

对于输入文件中每一个询问操作，你都应该输出对应的答案。一个答案一行。

Sample Input

madamimadam

7

Q 1 7

Q 4 8

Q 10 11

R 3 a

Q 1 7

I 10 a

Q 2 11

Sample Output

HINT

1、所有字符串自始至终都只有小写字母构成。

2、M<=150,000

3、字符串长度L自始至终都满足L<=100,000

4、询问操作的个数不超过10,000个。

对于第1，2个数据，字符串长度自始至终都不超过1,000

对于第3，4，5个数据，没有插入操作。

Solution

首先吐槽一下題目

火星人发现了这样的一个关联：如果把该字符串的所有后缀排好序，就可以很快地求出LCQ函数的值；同样，如果求出了LCQ函数的值，也可以很快地将该字符串的后缀排好序.

這都是什麼鬼.. 完全是誤導..

這一題正解是用Splay維護帶有插入的區間, 再用二分加Hash來判斷兩個子串是否相同.

首先是要對Hash的性質熟悉. 兩個串在知道長度的情況下, 將其首尾相接, 是可以在\(O(1)\)的時間內得到新的Hash值的. 有了這個性質, 才能對一個節點\(O(1)\)進行更新.

然後是Splay維護區間. Splay維護區間的題到目前來說做得很少, 但實際上其應用還是很廣泛的. 操作利用了Splay的旋轉操作, 以及二叉搜索树的性質. 具體來說, 有以下兩種操作:

插入: 假設要在第\(x\)和第\(x + 1\)位之間進行插入, 則將第\(x\)和\(x + 1\)位分別旋轉至根和根節點的子節點上(即確保這兩個點直接相連). 這樣的好處就是, 可以確保\(x + 1\)這個點的左子樹一定是空的. 這時, 直接在左子樹上加入新节点即可.
查詢: 假設要查詢\((L, R)\)這一段區間, 則按插入的方法將兩個節點上旋, 這時, \(R\)的左子樹即是需要查詢的整個範圍.

嗯, 大概就是這麼多. 原理實際上稍微想想就可以理解了.

然後這一題還要注意分別在字符串首尾加上一位, 因为插入和查詢时要访问到需要用到的区间的前一位和后一位. 具體細節看代碼吧(代碼好難寫.. QAQ)

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

inline void read(char *s)

{

	char c;

	while(! isgraph(c = getchar()));

	int len = 0;

	while(isgraph(c))

		s[len ++] = c, c = getchar();

}

inline void read(int &x)

{

	x = 0;

	char c;

	while(! isdigit(c = getchar()));

	while(isdigit(c))

		x = x * 10 + c - '0', c = getchar();

}

inline void read(char &c)

{

	while(! isgraph(c = getchar()));

}

const int L = 1 << 18;

int pwr[L];

char s[L];

int top;

int root;

struct Node

{

	int size, key, suc[2], pre;

	char c;

	Node(){}

	Node(int L, int R, int _pre, int _c)

	{

		suc[0] = L, suc[1] = R, pre = _pre, c = _c;

	}

}T[L];

void update(int u)

{

	T[u].size = (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0)

		+ (~ T[u].suc[1] ? T[T[u].suc[1]].size : 0)

		+ 1;

	T[u].key = (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].key : 0)

		+ T[u].c * pwr[~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0]

		+ (~ T[u].suc[1] ? pwr[~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size + 1 : 1] * T[T[u].suc[1]].key : 0);

}

int Build(int L, int R, int pre)

{

	if(L > R)

		return - 1;

	int mid = L + R >> 1;

	int u = top ++;

	T[u] = Node(Build(L, mid - 1, u), Build(mid + 1, R, u), pre, s[mid]);

	update(u);

	return u;

}

int Find(int u, int k)

{

	if(k == (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0) + 1)

		return u;

	else if(k > (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0))

		return Find(T[u].suc[1], k - (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0) - 1);

	else

		return Find(T[u].suc[0], k);

}

void Rotate(int u)

{

	int pre = T[u].pre, prepre = T[T[u].pre].pre, k = u == T[T[u].pre].suc[1];

	T[pre].suc[k] = T[u].suc[k ^ 1];

    T[T[u].suc[k ^ 1]].pre = pre;

    T[u].suc[k ^ 1] = pre;

    T[pre].pre = u;

    T[u].pre = prepre;

    if(prepre != - 1)

        T[prepre].suc[T[prepre].suc[1] == pre] = u;

    if(root == pre)

    	root = u;

    update(pre), update(u);

}

void Splay(int u, int rt)

{

	while(T[u].pre != rt)

	{

		if(T[T[u].pre].pre != rt)

			Rotate((u == T[T[u].pre].suc[0]) == (T[u].pre == T[T[T[u].pre].pre].suc[0]) ? T[u].pre : u);

		Rotate(u);

	}

}

inline void println(int x)

{

	if(x == 0)

		putchar('0');

	if(x < 0)

		putchar('-'), x *= - 1;

	int top = 0, ans[1 << 4];

	while(x)

		ans[top ++] = x % 10, x /= 10;

	for(; top; top --)

		putchar(ans[top - 1] + '0');

	putchar('\n');

}

int main()

{

	pwr[0] = 1;

	for(int i = 1; i < L; i ++)

		pwr[i] = pwr[i - 1] * 31;

	#ifndef ONLINE_JUDGE

	freopen("BZOJ1014.in", "r", stdin);

	freopen("BZOJ1014.out", "w", stdout);

	#endif

	int m;

	read(s + 1), read(m);

	int n = strlen(s + 1);

	s[0] = s[n + 1] = 0;

	top = 0;

	root = Build(0, n + 1, - 1);

	for(int i = 0; i < m; i ++)

	{

		char opt;

		read(opt);

		if(opt == 'I')

		{

			int x;

			char c;

			read(x), read(c);

			int u = Find(root, x + 1);

			int v = Find(root, x + 2);

			Splay(u, - 1);

			Splay(v, u);

			u = top ++;

			T[u] = Node(- 1, - 1, v, c);

			T[v].suc[0] = u;

			update(u), update(v), update(T[v].pre);

			n ++;

		}

		if(opt == 'R')

		{

			int x;

			char c;

			read(x), read(c);

			int u = Find(root, x + 1);

			Splay(u, - 1);

			T[u].c = c;

			update(u);

		}

		if(opt == 'Q')

		{

			int x, y;

			read(x), read(y);

			if(x == y)

			{

				println(n - x + 1);

				continue;

			}

			if(x > y)

				swap(x, y);

			int L = 0, R = n, ans = 0;

			while(L <= R)

			{

				int mid = L + R >> 1;

				if(y + 1 + mid > n + 2)

				{

					R = mid - 1;

					continue;

				}

				int u = Find(root, x), v = Find(root, x + 1 + mid);

				Splay(u, - 1), Splay(v, u);

				int hax = (~ T[v].suc[0] ? T[T[v].suc[0]].key : 0);

				u = Find(root, y), v = Find(root, y + 1 + mid);

				Splay(u, - 1), Splay(v, u);

				int hay = (~ T[v].suc[0] ? T[T[v].suc[0]].key : 0);

				if(hax == hay)

					ans = max(ans, mid), L = mid + 1;

				else

					R = mid - 1;

			}

			println(ans);

		}

	}

}

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