递归
函数可调用其他函数，但可能让你感到惊讶的是，函数还可调用自己。如果你以前没有遇到这种情况，可能想知道递归是什么意思。简单地说，递归意味着引用（这里是调用）自身。下面是一个常见的递归定义（但必须承认，这种定义很愚蠢）：
递归[名词]。
如果你在网上搜索“递归”，将看到类似的定义。
递归式定义（包括递归式函数定义）引用了当前定义的术语。递归可能难以理解，也可能非常简单，这取决于你对它的熟悉程度。一般而言，你不想要递归式定义（像前面的“递归”那样），因为这毫无意义：你查找“递归”，它告诉你去查找“递归”，如此这般没完没了。下面是一个递归式函数定义：
def recursion(): 
     return recursion()

这个定义显然什么都没有做，与刚才的“递归”定义一样傻。如果你运行它，结果将如何呢？你将发现运行一段时间后，这个程序崩溃了（引发异常）。从理论上说，这个程序将不断运行下去，但每次调用函数时，都将消耗一些内存。因此函数调用次数达到一定的程度（且之前的函数调用未返回）后，将耗尽所有的内存空间，导致程序终止并显示错误消息“超过最大递归深度”。
这个函数中的递归称为无穷递归（就像以while True打头且不包含break和return语句的循环被称为无限循环一样），因为它从论上说永远不会结束。你想要的是能对你有所帮助的递归函数，这样的递归函数通常包含下面两部分。

•  基线条件（针对最小的问题）：满足这种条件时函数将直接返回一个值。
•  递归条件：包含一个或多个调用，这些调用旨在解决问题的一部分。

这里的关键是，通过将问题分解为较小的部分，可避免递归没完没了，因为问题终将被分解成基线条件可以解决的最小问题。
那么如何让函数调用自身呢？这没有看起来那么难懂。前面说过，每次调用函数时，都将为此创建一个新的命名空间。这意味着函数调用自身时，是两个不同的函数［更准确地说，是不同版本（即命名空间不同）的同一个函数］在交流。你可将此视为两个属于相同物种的动物在彼此交流。

1)阶乘和幂
本节探讨两个经典的递归函数。首先，假设你要计算数字n的阶乘。n的阶乘为n × (n-1) × (n-2) × … × 1，在数学领域的用途非常广泛。例如，计算将n个人排成一队有多少种方式。如何计算阶乘呢？可使用循环。
def factorial(n): 
    result = n 
    for i in range(1, n): 
        result *= i 
    return result 
这种实现可行，而且直截了当。大致而言，它是这样做的：首先将result设置为n，再将其依次乘以1到n-1的每个数字，最后返回result。但如果你愿意，可采取不同的做法。关键在于阶乘的数学定义，可表述如下。

•  1的阶乘为1。
•  对于大于1的数字n，其阶乘为n - 1的阶乘再乘以n。

如你所见，这个定义与本节开头的定义完全等价。
下面来考虑如何使用函数来实现这个定义。理解这个定义后，实现起来其实非常简单。
def factorial(n): 
   if n == 1: 
       return 1 
   else: 
       return n * factorial(n - 1) 

这是前述定义的直接实现，只是别忘了函数调用factorial(n)和factorial(n – 1)是不同的实体。
再来看一个示例。假设你要计算幂，就像内置函数pow和运算符**所做的那样。要定义一个数字的整数次幂，有多种方式，但先来看一个简单的定义：power(x, n)（x的n次幂）是将数字x自乘n - 1次的结果，即将n个x相乘的结果。换而言之，power(2, 3)是2自乘两次的结果，即2 × 2 × 2 = 8。这实现起来很容易。
def power(x, n): 
    result = 1 
    for i in range(n): 
        result *= x    #1 * 2   2 * 2    4 * 2
    return result
这是一个非常简单的小型函数，但也可将定义修改成递归式的。

•  对于任何数字x，power(x, 0)都为1。
•  n>0时，power(x, n)为power(x, n-1)与x的乘积。

如你所见，这种定义提供的结果与更简单的迭代定义完全相同。理解定义是最难的，而实现起来很容易。
def power(x, n): 
    if n == 0: 
         return 1 
    else: 
         return x * power(x, n - 1) 

如果函数或算法复杂难懂，在实现前用自己的话进行明确的定义将大有裨益。以这种“准编程语言”编写的程序通常称为伪代码。

那么使用递归有何意义呢？难道不能转而使用循环吗？答案是肯定的，而且在大多数情况下，使用循环的效率可能更高。然而，在很多情况下，使用递归的可读性更高，且有时要高得多，在你理解了函数的递归式定义时尤其如此。另外，虽然你完全能够避免编写递归函数，但作为程序员，你必须能够读懂其他人编写的递归算法和函数。

 

2)二分查找
你可能熟悉猜心游戏。这个游戏要求猜对对方心里想的是什么，且整个猜测过程提出的“是否”问题不能超过20个。为充分利用每个问题，你力图让每个问题的答案将可能的范围减半。例如，如果你知道对方心里想的是一个人，可能问：“你心里想的是个女人吗？”除非你有很强的第六感，不然不会一开始就问：“你心里想的是John Cleese吗？”对喜欢数字的人来说，这个游戏的另一个版本是猜数。例如，对方心里想着一个1～100的数字，你必须猜出是哪个。当然，猜100次肯定猜对，但最少需要猜多少次呢？
实际上只需猜7次。首先问：“这个数字大于50吗？”如果答案是肯定的，再问：“这个数字大于75吗？”不断将可能的区间减半，直到猜对为止。你无需过多地思考就能成功。
这种策略适用于众多其他不同的情形。一个常见的问题是：指定的数字是否包含在已排序的序列中？如果包含，在什么位置？为解决这个问题，可采取同样的策略：“这个数字是否在序列*的右边？”如果答案是否定的，再问：“它是否在序列的第二个四分之一区间内（左半部分的右边）？”依此类推。明确数字所处区间的上限和下限，并且每一个问题都将区间分成两半。
这里的关键是，这种算法自然而然地引出了递归式定义和实现。先来回顾一下定义，确保你知道该如何做。

•  如果上限和下限相同，就说明它们都指向数字所在的位置，因此将这个数字返回。
•  否则，找出区间的中间位置（上限和下限的平均值），再确定数字在左半部分还是右半部分。然后在继续在数字所在的那部分中查找。

在这个递归案例中，关键在于元素是经过排序的。找出中间的元素后，只需将其与要查找的数字进行比较即可。如果要查找的数字更大，肯定在右边；如果更小，它必然在左边。递归部分为“继续在数字所在的那部分中查找”，因为查找方式与定义所指定的完全相同。（请注意，这种查找算法返回数字应该在的位置。如果这个数字不在序列中，那么这个位置上的自然是另一个数字。）现在可以实现二分查找了。
def search(sequence, number, lower, upper): 
      if lower == upper: 
           assert number == sequence[upper] 
           return upper 
      else: 
           middle = (lower + upper) // 2 
           if number > sequence[middle]: 
                return search(sequence, number, middle + 1, upper) 
           else: 
                return search(sequence, number, lower, middle) 
这些代码所做的与定义完全一致：如果lower == upper，就返回upper，即上限。请注意，你假设（断言）找到的确实是要找的数字（number == sequence[upper]）。如果还未达到基线条件，就找出中间位置，确定数字在它左边还是右边，再使用新的上限和下限递归地调用search。为方便调用，还可将上限和下限设置为可选的。为此，只需给参数lower和upper指定默认值，并在函
数开头添加如下条件语句：
def search(sequence, number, lower=0, upper=None): 
      if upper is None: upper = len(sequence) - 1 
 ... 
现在，如果你没有提供上限和下限，它们将分别设置为序列的第一个位置和最后一个位置。下面来看看这是否可行。

>>> seq = [34, 67, 8, 123, 4, 100, 95] 
>>> seq.sort() 
>>> seq 
[4, 8, 34, 67, 95, 100, 123] 
>>> search(seq, 34) 
2 
>>> search(seq, 100) 
5 
然而，为何要如此麻烦呢？首先，你可使用列表方法index来查找。其次，即便你要自己实现这种功能，也可创建一个循环，让它从序列开头开始迭代，直至找到指定的数字。
确实，使用index挺好，但使用简单循环可能效率低下。前面说过，要在100个数字中找到指定的数字，只需问7次；但使用循环时，在最糟的情况下需要问100次。你可能觉得“没什么大不了的”。但如果列表包含100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000个元素（对Python列表来说，这样的长度可能不现实），使用循环也将需要问这么多次，情况开始变得“很大”了。然而，
如果使用二分查找，只需问117次。

实际上，模块bisect提供了标准的二分查找实现。

 

函数式编程
可能习惯了像使用其他对象（字符串、数、序列等）一样使用函数：将其赋给变量，将其作为参数进行传递，以及从函数返回它们。在 Python 中，通常不会如此倚重函数（而是创建自定义对象），但完全可以这样做。 
Python提供了一些有助于进行这种函数式编程的函数：map、filter和reduce。在较新的Python版本中，函数map和filter的用途并不大，应该使用列表推导来替代它们。你可使用map将序列的所有元素传递给函数。
>>> list(map(str, range(10))) # 与[str(i) for i in range(10)]等价
['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'] 
你可使用filter根据布尔函数的返回值来对元素进行过滤。
>>> def func(x): 
...         return x.isalnum() 
... 
>>> seq = ["foo", "x41", "?!", "***"] 
>>> list(filter(func, seq)) 
['foo', 'x41'] 
就这个示例而言，如果转而使用列表推导，就无需创建前述自定义函数。
>>> [x for x in seq if x.isalnum()] 
['foo', 'x41'] 
实际上，Python提供了一种名为lambda表达式的功能，让你能够创建内嵌的简单函数（主要供map、filter和reduce使用）。
>>> filter(lambda x: x.isalnum(), seq) 
['foo', 'x41'] 
然而，使用列表推导的可读性不是更高吗？
要使用列表推导来替换函数reduce不那么容易，而这个函数提供的功能即便能用到，也用得不多。它使用指定的函数将序列的前两个元素合二为一，再将结果与第3个元素合二为一，依此类推，直到处理完整个序列并得到一个结果。例如，如果你要将序列中的所有数相加，可结合使用reduce和lambda x, y: x+y。
>>> numbers = [72, 101, 108, 108, 111, 44, 32, 119, 111, 114, 108, 100, 33] 
>>> from functools import reduce 
>>> reduce(lambda x, y: x + y, numbers) 
1161 
当然，就这个示例而言，还不如使用内置函数sum。

实际上，可不使用这个lambda函数，而是导入模块operator中的函数add（这个模块包含对应于每个内置运算符的函数）。与使用自定义函数相比，使用模块operator中的函数总是效率更高。