4.5 几何规划
- 单项式与正项式
- 几何规划
- 凸形式的几何规划
- 例子
单项式与正项式
函数定义为：
函数f被称为单项式函数，或简称单项式。单项式的指数可以是任意实数，但系数c非负。
单项式的和，成为正项式函数，或简称为正项式，具有下列形式：
正项式对于加法、正数乘和非负的伸缩变换，以及平方运算都是封闭的，即是正项式
均是正项式。
几何规划
具有上述形式的优化问题称为几何规划。其中是正项式，
是单项式。
扩展：如果f(x)是正项式，h(x)是单项式，，可以写成
，如果
都是单项式，约束为
事，可以转为
凸形式的几何规划
几何规划显然不是凸优化问题，但通过变量代换以及目标函数、约束函数的转换，可以将其转换为凸优化问题。
令，所以如果f(x)是单项式函数，则
令，所以
，所以上式变为：
如果f(x)是正项式函数，则
所以几何规划问题转化为：
再用对数函数对目标函数和约束函数进行转换
可知目标函数是凸函数，不等式约束函数是凸函数，等式约束函数是仿射函数故问题是凸优化问题。
例子
悬壁梁的设计
悬壁梁包含N段，每段都有段位长度和矩形截面，截面的高度为宽度为
，一个垂直负载被施加于的右端，力为F，其材料是线性弹性的，其杨氏模量为E。
问题中带设计的变量是N段的宽度和高度，在一些约束下要求最小化梁的体积：
约束：
- 每段的宽度和高度的上下界：
- 形状比例约束：
- 第i段的最大压力，记为
，约束：
- 梁末端垂直挠度的限制，记为
，
- 挠度
开始按
递归求得：
于是问题为：
将其整理为几何规划形式：
来源：https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86647743