PART1 凸集

1.凸集

1.仿射

仿射集（Affine set）定义：

通过x₁和x₂的直线可以参数化描述为θx1 + (1-θ) x2, θ∈R,此直线就是一个仿射的
注：线性方程的解集是仿射集合，同时任何仿射集合都可以表示成线性方程的解集。

仿射组合定义：

扩展：如果C是仿射的，其中任意点组成的仿射组合仍在C中。

仿射包定义：

子空间概念：

注意：子空间一定过原点，子空间其实就对整个集合做整体偏移，偏移x₀，这里对于仿射集的子空间仍然为仿射的。

仿射维数与相对内部

仿射维数定义：仿射维数即为仿射包的维数。
相对内部：

即仿射包的维数小于其所处空间维度时，定义了相对内部

2.凸集

凸集定义：

注：这里类似于取线段

凸组合定义：

凸包定义：

3.锥

锥定义：

如果对于任意x∈C和θx∈C，我们称集合C是锥。锥一定过原点。

凸锥定义：

锥组合定义：

锥包定义：

4.三种集合的总结

集合	定义	区别
仿射组合	Θ 1 x 1 + ⋯ + Θ k xk	Θ 1+ ⋯ + Θ k=1
凸组合	Θ 1 x 1 + ⋯ + Θ k xk	Θ 1+ ⋯ + Θ k=1,Θ k∈[0 ,1 ]
凸锥组合	Θ 1 x 1 + ⋯ + Θ k xk	Θ 1…Θ k>0

5.重要例子

仿射：空集，单点集，全空间Rⁿ,任意直线，子空间，注：仿射集是凸集的一种特例
凸集：仿射：空集，单点集，全空间Rⁿ，线段，射线，子空间
凸锥：原点，空集，子空间，过原点的射线，直线，注：凸锥一定是凸的

超平面集合：
这里a ∈ Rⁿ ,a ≠ 0 ，b ∈ R
半空间集合：

注：超平面是放射集，凸集，半空间是凸集，不一定是凸锥（过原点为凸锥）

Euclid球和椭球：

这里x_c为球心，r为半径。

注：矩阵正定是指当存在一个矩阵A其是实对称矩阵，且对于所有的X ≠ 0，X^TAX > 0，则称矩阵A正定，当矩阵A，X^TAX ≥ 0,则称为半正定。实对称矩阵A正定的充分必要条件是其特征值都是正数。
范数球和范数锥

范数球，范数锥是凸的
多面体

多面体是凸集，是有限个半空间和超平面取交集的一个集合
单纯形

一维单纯形为直线，二维空间中的单纯形为三角形，三维单纯形为四面体。
注意：在n维空间中找不到n+1个点以上的的单纯形。单纯形是一类重要的多面体
半正定锥

Sⁿ₊是一个凸锥，Sⁿ也是一个凸锥，Sⁿ₊₊是凸集但不是凸锥

2.保凸运算

1.交集

运算	例子
交集	S1和S2均为凸集，S1∩S2仍为凸
仿射	f : Rn- > Rm是仿射函数，f(x) = Ax + b , A∈Rm*n, b∈Rm
透视函数	P: Rn+1- > Rn, P(z ,t) = z / t domP =Rn × R++，z ∈ Rn, t∈R++
线性分式函数	g: Rn- > Rm+1为仿射映射, P: Rm+1- > Rm f : Rn- > Rm=P。g

注：

• 每一个闭凸集是多个半空间的交集。
  -仿射运算就是做伸缩和平移。

	 S1和S2均为凸集
	 S1+S2 = { x+y | x ∈ S1 ，y ∈ S2 }仍然为凸
	 S1×S2 = { （x，y） | x ∈ S1 ，y ∈ S2 } 仍然为凸 
	 

-对于线性分式函数 f(x) = (Ax + b) / (C^Tx + d),dom f = {x | C^Tx + d > 0 }