每日一题 - 剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列

题目信息

  • 时间: 2019-06-26

  • 题目链接:Leetcode

  • tag:分治算法 递归

  • 难易程度:中等

  • 题目描述:

    输入一个整数数组,判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true,否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

参考如下:

     5
    / \
   2   6
  / \
 1   3

示例1:

输入: [1,6,3,2,5]
输出: false

示例2:

输入: [1,3,2,6,5]
输出: true

提示

1.数组长度<=1000

解题思路

本题难点

  • 后序遍历定义: [ 左子树 | 右子树 | 根节点 ] ,即遍历顺序为 “左、右、根” 。
  • 二叉搜索树定义: 左子树中所有节点的值< 根节点的值;右子树中所有节点的值 <根节点的值;其左、右子树也分别为二叉搜索树。

具体思路

根据二叉搜索树的定义,可以通过递归,判断所有子树的 正确性 (即其后序遍历是否满足二叉搜索树的定义) ,若所有子树都正确,则此序列为二叉搜索树的后序遍历。

  • 终止条件:当 ij ,说明此子树节点数量 ≤1 ,无需判别正确性,因此直接返回 true ;

  • 递推工作

    • 划分左右子树:遍历后序遍历的 [i,j] 区间元素,寻找 第一个大于根节点 的节点,索引记为
      m。此时,可划分出左子树区间[i,m−1] 、右子树区间[m,j−1] 、根节点索引 j

    • 判断是否为二叉搜索树

      左子树区间[i,m−1] 内的所有节点都应 <postorder[j] 。而第 1.划分左右子树 步骤已经保证左子树区间的正确性,因此只需要判断右子树区间即可。

      右子树区间[m,j−1] 内的所有节点都应postorder>[j] 。实现方式为遍历,当遇到 ≤postorder[j] 的节点则跳出;则可通过p=j 判断是否为二叉搜索树。

代码

class Solution {
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        return recur(postorder,0,postorder.length-1);
    }
    public boolean recur(int[] postorder,int left,int right){
      //当 i≥j ,说明此子树节点数量 ≤1 ,无需判别正确性,因此直接返回 true
        if(left > right){
            return true;
        }
      //划分左右子树
        int p = left;
      //划分出左子树区间[i,m−1] 
        while(postorder[p] < postorder[right]){
            p++;
        }
      //寻找第一个大于根节点的节点,索引记为 m
        int m = p;
      //右子树区间[m,j−1] 
        while(postorder[p] > postorder[right]){
            p++;
        }
      //左子树区间[i,m−1] 内的所有节点都应 <postorder[j] 
      //右子树区间[m,j−1] 内的所有节点都应postorder[j] 
        return p == right && recur(postorder,left,m-1) && recur(postorder,m,right-1);
    }
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度 O(N^2) : 每次调用 recur(i,j) 减去一个根节点,因此递归占用 O(N) ;最差情况下(即当树退化为链表),每轮递归都需遍历树所有节点,占用 O(N) 。
  • 空间复杂度 O(N) : 最差情况下(即当树退化为链表),递归深度将达到 N

其他优秀解答

解题思路

辅助单调栈,后序遍历倒序: [ 根节点 | 右子树 | 左子树 ] 。类似 先序遍历的镜像 ,即先序遍历为 “根、左、右” 的顺序,而后序遍历的倒序为 “根、右、左” 顺序。

  • 为什么要用单调栈呢,因为往右子树遍历的过程,value是越来越大的,一旦出现了value小于栈顶元素value的时候,就表示要开始进入左子树了。

  • 单调栈帮我们记录了这些节点,只要栈顶元素还比当前节点大,就表示还是右子树,要移除,因为我们要找到这个左孩子节点直接连接的父节点,也就是找到这个子树的根,只要栈顶元素还大于当前节点,就要一直弹出,直到栈顶元素小于节点,或者栈为空。栈顶的上一个元素就是子树节点的根。

  • 接下来,数组继续往前遍历,之后的左子树的每个节点,都要比子树的根要小,才能满足二叉搜索树,否则就不是二叉搜索树。

代码

class Solution {
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        // 单调栈使用,单调递增的单调栈
        Deque<Integer> stack = new LinkedList<>();
        // 表示上一个根节点的元素,这里可以把postorder的最后一个元素root看成无穷大节点的左孩子
        int pervElem = Integer.MAX_VALUE;
        // 逆向遍历,就是翻转的先序遍历
        for (int i = postorder.length - 1;i>=0;i--){
            // 左子树元素必须要小于递增栈被peek访问的元素,否则就不是二叉搜索树
            if (postorder[i] > pervElem){
                return false;
            }
            while (!stack.isEmpty() && postorder[i] < stack.peek()){
                // 数组元素小于单调栈的元素了,表示往左子树走了,记录下上个根节点
                // 找到这个左子树对应的根节点,之前右子树全部弹出,不再记录,因为不可能在往根节点的右子树走了
                pervElem = stack.pop();
            }
            // 这个新元素入栈
            stack.push(postorder[i]);
        }
        return true;
    }
}
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