图，树，图的遍历顺序（Graphs，Trees and Traversal Oreder of Graphs）
主要介绍在编译器中使用到的图、树和图的遍历顺序。
图 Graphs
在图论中，图是一种数学结构，用来表示一组对象，这些对象之间有一些成对的关系。对象可以包含任意信息，例如单个值、某段代码或公司员工的姓名，具体取决于图的用途。
这里我们尽可能简单地用一个字母标识每个对象，将图中对象成为顶点(vertices)，对象间关系成为边(edges)。使用 G = ( V , E ) G = (V,E) G=(V,E) 描述顶点V 和边E 的集合，顶点V 的个数为 n = ∣ V ∣ n = |V| n=∣V∣，边的个数 m = ∣ E ∣ m = |E| m=∣E∣。
边用于描述顶点的移动，这种移动称为路径，边可以是有方向的，也可以是无方向的。也就是说，通过多个顶点到顶点的边，可能从顶点y到达顶点v。图中y到v的路径可以记为： y ∗ → G v _y \ \underrightarrow{*}_G\ {_v} y ∗G v 。图可以有一个根节点r，表示图的起点，这时候图记为 G = ( V , E , r ) G=(V,E,r) G=(V,E,r)。
本文中，图中的边用虚线边，树的边用实线边，下面是一个有向图。
树 Trees
树是图的子集，这意味着树由相同的元素组成，例如顶点、有向边、无向边和根。树中不能有任何循环路径，因此树中的顶点具有层次顺序。这意味着每个顶点都与树中的其他顶点有某种关系。下面介绍树T的一些关系。
- 根 Root：树顶部的顶点，记为r。
- 路径 Path：树中的路径是连接一个顶点到另一个顶点的顶点和边的序列，顶点y到顶点v的路径记为 y ∗ → T v _y \ \underrightarrow{*}_T\ {_v} y ∗T v 。
- 深度 Depth：一个顶点v的深是路径 r ∗ → T v _r \ \underrightarrow{*}_T\ {_v} r ∗T v上边的数目。
- 父亲 Parent：如果在树上存在一个边 ( p , v ) (p,v) (p,v)，则顶点p是顶点v的父亲。
- 孩子 Child：如果在树上存在一个边 ( p , v ) (p,v) (p,v)，则顶点v是顶点p的父亲。
- 兄弟 Sibling：有相同父亲的顶点。
- 祖先 Ancestor：如果a在路径 a ∗ → T v _a \ \underrightarrow{*}_T\ {_v} a ∗T v (包括v)上，则顶点a是v的祖先。
- 后代 Descendant：顶点a是顶点v的祖先，则v是a的后代，包括顶点自己。
- 真祖先 Proper Ancestor：和祖先的一样，但不包括自己，真祖先a到顶点v的路径记为： a + → T v _a \ \underrightarrow{+}_T\ {_v} a +T v 。
- 真后代 Proper descendant：和后代一样，但不包括自己。
- 子树 Subtree：顶点v是树中的一个顶点，有v和其后代组成的的树为T的子树，顶点v是该子树的根。
- 单体 Singlenton：只有一个顶点的树。
- 森林 Forest：森林就是一系列的树，这些树不互相连接。
遍历顺序 Traversal Order
遍历一个图或树，就是访问他们的每个节点。图和树的遍历顺序非常多，这里介绍一种叫做深度优先搜索 (DFS:Depth-First-Search)方法，并由此产生的四种遍历顺序。
深度优先搜索算法：沿着图或树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
并由DFS产生4种遍历顺序：
- 前序遍历 Pre-order：以DFS搜序一个顶点没有编号的图，每个定点在发现时进行编号，这个顺序就是前序遍历。
- 后序遍历 Post-order：一个顶点所有出边到达的顶点都被访问过后，它所获得的编号。
- 逆前序 Reverse pre-order：前序的逆序。
- 逆后序 Reverse post-order：后序的逆序。
这个图中，所有黑色线都是图的一部分，但是只有直线是图的DFS生成的树(DFST: Depth-Fist Spanning Tree)的一部分，红线是DFS的搜索路径。
在龙书介绍了DFS的算法，以上面这个有向图为例。
对于逆后序(RPO)，又称为深度优先排序(depth-first order)是编译器中做数据流迭代时候常选用的遍历顺序，它可以加快求解不动点的速度。
DAG的拓扑排序，就是任意一条边 n->m，节点 n 都先于节点 m 。
对于有向无环图(DAG)，其实逆后序就是拓扑排序。如果一个有向图没有环的话，也就是一个DAG，已拓扑排序或者RPO顺序遍历只需要一次迭代便可以收敛（得到不动点），因为根据拓扑排序的定义可以知道，访问一个节点前它的前驱都已经访问过了。
但对于有环的有向图CFG，其实不存在拓扑排序，这时候已逆后序RPO顺序遍历，可以加速算法。
参考
- [1] Algorithms for Finding Dominators in Directed Graphs
- [2] 龙书