幂级数公式
常见幂级数求和函数方法：
先
导
后
积
(
n
在
分
母
：
∑
2
+
∞
x
n
n
(
n
−
1
)
)
，
先
积
后
导
(
n
在
分
子
：
∑
0
+
∞
n
x
n
−
1
)
，
微
分
方
程
法
(
n
在
分
子
：
∑
0
+
∞
(
n
+
1
)
x
n
n
!
)
柯
西
乘
法
公
式
(
"
多
项
式
乘
法
"
)
：
∑
a
n
x
n
,
∑
b
n
x
n
绝
对
收
敛
∑
a
n
x
n
∗
∑
b
n
x
n
=
∑
c
n
x
n
绝
对
收
敛
先导后积(n在分母：\sum_{2}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n-1)})，\\ 先积后导(n在分子：\sum_{0}^{+\infty} nx^{n-1})，\\ 微分方程法(n在分子：\sum_{0}^{+\infty} \frac{(n+1)x^n}{n!})\\ 柯西乘法公式("多项式乘法")：\sum a_nx^n,\sum b_nx^n绝对收敛\sum a_nx^n*\sum b_nx^n=\sum c_nx^n绝对收敛\\
先导后积(n在分母：2∑+∞n(n−1)xn)，先积后导(n在分子：0∑+∞nxn−1)，微分方程法(n在分子：0∑+∞n!(n+1)xn)柯西乘法公式("多项式乘法")：∑anxn,∑bnxn绝对收敛∑anxn∗∑bnxn=∑cnxn绝对收敛
微分方程法
幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及
和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。
例1:
S
(
x
)
=
∑
0
+
∞
n
+
1
n
!
x
n
由
题
意
得
S
(
x
)
−
S
′
(
x
)
=
(
1
+
x
+
x
2
2
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
…
…
)
S
(
x
)
=
e
x
(
x
+
1
)
S(x)=\sum_0^{+\infty}\frac{n+1}{n!}x^n\\ 由题意得S(x)-S'(x)=(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+……)\\ S(x)=e^x(x+1)
S(x)=0∑+∞n!n+1xn由题意得S(x)−S′(x)=(1+x+2x2+3!x3+4!x4+……)S(x)=ex(x+1)
例2:
a
1
=
1
,
a
n
+
1
=
f
(
a
n
)
,
求
S
(
x
)
则
S
′
(
x
)
=
(
a
1
x
+
∑
n
=
2
+
∞
a
n
x
n
)
′
=
a
1
+
∑
n
=
2
+
∞
a
n
∗
n
∗
x
n
−
1
=
a
1
+
∑
n
=
1
+
∞
a
n
+
1
∗
(
n
+
1
)
∗
x
n
=
a
1
+
∑
n
=
1
+
∞
f
(
a
n
)
∗
(
n
+
1
)
∗
x
n
f
(
a
n
)
∗
(
n
+
1
)
如
果
能
写
成
a
n
+
n
a
n
+
g
(
n
)
的
形
式
(
其
中
g
(
n
)
x
n
为
某
函
数
的
幂
级
数
展
开
则
=
a
1
+
∑
n
=
1
+
∞
(
a
n
+
n
a
n
+
g
(
n
)
)
∗
x
n
=
a
1
+
∑
n
=
1
+
∞
(
a
n
)
∗
x
n
+
∑
n
=
1
+
∞
(
n
a
n
)
∗
x
n
+
∑
n
=
1
+
∞
(
g
(
n
)
)
∗
x
n
=
a
1
+
S
(
x
)
+
x
S
′
(
x
)
+
∑
n
=
1
+
∞
(
g
(
n
)
)
∗
x
n
a_1=1,a_{n+1}=f(a_n),求S(x)\\ 则S'(x)=(a_1x+\sum_{n=2}^{+\infty} a_nx^n)'\\ =a_1+\sum_{n=2}^{+\infty} a_n* n *x^{n-1}\\ =a_1+\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n+1}*( n+1) *x^{n}\\ =a_1+\sum_{n=1}^{+\infty} f( a_{n})*( n+1) *x^{n}\\ f( a_{n})*( n+1) 如果能写成 a_n +na_n+g(n)的形式(其中g(n)x^n为某函数的幂级数展开\\ 则=a_1+\sum_{n=1}^{+\infty} (a_n +na_n+g(n) )*x^{n}\\ =a_1+\sum_{n=1}^{+\infty} (a_n )*x^{n}+\sum_{n=1}^{+\infty} (na_n)*x^{n}+\sum_{n=1}^{+\infty} (g(n) )*x^{n}\\ =a_1+S(x)+xS'(x)+\sum_{n=1}^{+\infty} (g(n) )*x^{n}\\
a1=1,an+1=f(an),求S(x)则S′(x)=(a1x+n=2∑+∞anxn)′=a1+n=2∑+∞an∗n∗xn−1=a1+n=1∑+∞an+1∗(n+1)∗xn=a1+n=1∑+∞f(an)∗(n+1)∗xnf(an)∗(n+1)如果能写成an+nan+g(n)的形式(其中g(n)xn为某函数的幂级数展开则=a1+n=1∑+∞(an+nan+g(n))∗xn=a1+n=1∑+∞(an)∗xn+n=1∑+∞(nan)∗xn+n=1∑+∞(g(n))∗xn=a1+S(x)+xS′(x)+n=1∑+∞(g(n))∗xn
柯西乘法公式：
S
(
x
)
=
∑
1
n
−
(
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
…
…
+
1
n
)
x
n
观
察
x
n
的
系
数
c
n
，
−
(
1
)
,
−
(
1
+
1
2
)
,
−
(
1
+
1
2
+
1
3
)
…
…
l
n
(
1
−
x
)
=
−
(
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
x
4
4
+
…
…
+
x
n
n
)
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
…
…
+
x
n
S
(
x
)
=
l
n
(
1
−
x
)
1
−
x
S(x)=\sum_{1}^n- (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+……+\frac{1}{n}) x^n\\ 观察x^n的系数c_n，-(1),-(1+\frac{1}{2}),-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})……\\ ln(1-x)=-(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+……+\frac{x^n}{n})\\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+……+x^n\\ S(x)=\frac{ln(1-x)}{1-x}
S(x)=1∑n−(1+21+31+41+……+n1)xn观察xn的系数cn，−(1),−(1+21),−(1+21+31)……ln(1−x)=−(x+2x2+3x3+4x4+……+nxn)1−x1=1+x+x2+……+xnS(x)=1−xln(1−x)