本文参考dx11龙书 Chapter1 vector algebra(向量代数)
要想学好游戏编程，扎实的数学知识是尤为重要的，下面将对dx11龙书中有关向量的数学知识做一下总结。
在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向（direction）的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指：代表向量的方向、线段长度：代表向量的大小。
向量的表示方式一般有3种：
1.代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c… 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示
2.几何表示：用有向线段表示
3.坐标表示
（注：directx使用的是左手系，下面不作说明均以左手系为准）
向量的一些基本操作（部分摘自百度百科）：
1.向量的模，即向量的长度。
向量a的模记作|a|。向量的模是非负实数，是可以比较大小的。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。
（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。
给定一个向量u和v，求u在v上的投影向量，如下图。
假设u在v上的投影向量是u’，且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性，大小和方向，我们先确定u’的大小（即长度，或者模），从u的末端做v的垂线，那么d就是u’的长度。而u’和v的方向是相同的，v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有
(1)
再求d的长度。
(2)
最后求cos(theta)
(3)
联合求解方程（1）（2）（3）得到
这就是最终的投影向量。
而这个向量的长度d是
============================
以下是旧的推导，也保留。
XNA MathVectors
下面介绍一些xna math库中常用的向量结构及方法
1.向量类型
有XMVECTOR,XMFLOAT2，XMFLOAT3，XMFLOAT4等几种类型，具体可以看dx11龙书1.6.1节
在这一章中作者给出使用向量类型应注意的5点：
(1)、 对局部变量和全局变量，使用XMVECTOR类型；
(2)、 对类的数据成员，使用XMFLOAT2, XMFLOAT3和XMFLOAT4数据成员；
(3)、 在进行计算之前，使用载入函数（loading functions）来将XMFLOAT*类型转换成XMVECTOR类型；
(4)、 用XMVECTOR的实例进行计算；
(5)、 使用存储函数（storage functions）来将XMVECTOR转换成XMFLOAT*类型
2.Loading and Storage Methods（载入和存储函数）
我们用下面的方法来加载数据，从XMFLOAT*到XMVECTOR
XMVECTOR XMLoadFloat3(CONST XMFLOAT3 *pSource);
XMVECTOR XMLoadInt3(CONST UINT* pSource);
XMVECTOR XMLoadColor(CONST XMCOLOR *pSource);
用下面的方法存储数据，从XMVECTOR到XMFLOAT*
VOID XMStoreFloat3(XMFLOAT3 *pDestination,FXMVECTOR V);
......
3.Parameter Passing参数传递
龙书中主要介绍了CXMVECTOR 和FXMVECTOR 这两种参数类型，并告诉了我们在定义函数时，参数类型的注意事项：
函数的前三个XMVECTOR类型必须是FXMVECTOR，而后面的都是CXMVECTOR。
4.Constant Vectors常向量
需要初始化的XMVECTOR常量应该定义为XMVECTORF32类型（用于存储浮点向量）或XMVECTORU32类型（用于存储整数向量）.
5.Vector Functions一些向量运算有关的函数
XMVECTOR XMVectorZero();//返回零向量
XMVECTOR XMVectorSplatOne();//返回(1,1,1,1)
XMVECTOR XMVectorSet(FLOAT x,FLOAT y,FLOAT z,FLOAT w);//返回(x,y,z,w)
XMVECTOR XMVectorReplicate(FLOAT s);//返回(s,s,s,s)
XMVECTOR XMVectorSplatX(FXMVECTOR V);//返回(vx,vx,vx,vx)
XMVECTOR XMVector3Length(FXMVECTOR V);//返回向量v的模所构成的新的向量，例如向量v模为2，则返回(2,2,2)
XMVECTOR XMVector3LengthSq(FXMVECTOR V);//模的平方
XMVECTOR XMVector3Dot(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//点积
XMVECTOR XMVector3Cross(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//叉积
XMVECTOR XMVector3Normalize(FXMVECTOR V);//单位化
XMVECTOR XMVector3Orthogonal(FXMVECTOR V);//得到一个与其垂直的向量
XMVECTOR XMVector3AngleBetweenVectors(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//两个向量的夹角
VOID XMVector3ComponentsFromNormal(XMVECTOR* pParallel,XMVECTOR* pPerpendicular,FXMVECTOR V,FXMVECTOR Normal);//向量的投影
BOOL XMVector3Equal(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//判断两个向量是否相等
6.Floating-Point Error浮点数计算误差
用浮点数进行计算（甚至单纯地表示）时，会出现误差，所以等判断相等时，需要定义一个容许误差。
附：dx11龙书测试的源码及测试结果
1.
#include <windows.h>
#include <xnamath.h>
#include <iostream>
using namespace std; //重载<<操作符
ostream& operator<<(ostream &os, FXMVECTOR v)
{
XMFLOAT3 dest;
XMStoreFloat3(&dest, v);
os << "(" << dest.x << "," << dest.y << "," << dest.z << ")";
return os;
} int main()
{
cout.setf(ios_base::boolalpha);//cout格式化 输入输出bool值可以为true和false //检查是否支持SSE2
if (!XMVerifyCPUSupport())
{
cout << "xna math not supported" << endl;
return ;
}
XMVECTOR p = XMVectorZero();
XMVECTOR q = XMVectorSplatOne();
XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 2.0f, 3.0f, 0.0f);
XMVECTOR v = XMVectorSplatX(u);
XMVECTOR w = XMVectorReplicate(-3.5f); cout << "p = " << p << endl;
cout << "q = " << q << endl;
cout << "u = " << u << endl;
cout << "v = " << v << endl;
cout << "w = " << w << endl; return ;
}
2.
#include <windows.h>
#include <xnamath.h>
#include <iostream>
using namespace std; ostream& operator<<(ostream &os, FXMVECTOR v)
{
XMFLOAT3 dest;
XMStoreFloat3(&dest, v);
os << "(" << dest.x << "," << dest.y << "," << dest.z << ")";
return os;
} int main()
{
cout.setf(ios_base::boolalpha);
if (!XMVerifyCPUSupport())
{
cout << "xna math not supported" << endl;
return ;
}
XMVECTOR n = XMVectorSet(1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f);
XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 2.0f, 3.0f, 0.0f);
XMVECTOR v = XMVectorSet(-2.0f, 1.0f, -3.0f, 0.0f);
XMVECTOR w = XMVectorSet(0.707f, 0.707f, 0.0f, 0.0f); XMVECTOR a = u + v;
XMVECTOR b = u - v;
XMVECTOR c = 10.0f * u;
XMVECTOR L = XMVector3Length(u);
XMVECTOR d = XMVector3Normalize(u);
XMVECTOR s = XMVector3Dot(u, v);
XMVECTOR e = XMVector3Cross(u, v); XMVECTOR projW;
XMVECTOR perpW;
XMVector3ComponentsFromNormal(&projW, &perpW, w, n); bool equal = XMVector3Equal(projW + perpW, w) != ;
bool notEqual = XMVector3NotEqual(projW + perpW, w) != ;
XMVECTOR angelVec = XMVector3AngleBetweenVectors(projW, perpW);
float angleRadians = XMVectorGetX(angelVec);
float angleDegrees = XMConvertToDegrees(angleRadians); cout << "u = " << u << endl;
cout << "v = " << v << endl;
cout << "w = " << w << endl;
cout << "n = " << n << endl;
cout << "a = u + v = " << a << endl;
cout << "b = u - v = " << b << endl;
cout << "c = 10 * u = " << c << endl;
cout << "d = u / ||u|| = " << d << endl;
cout << "e = u x v = " << e << endl;
cout << "L = ||u|| = " << L << endl;
cout << "s = u.v = " << s << endl;
cout << "projW = " << projW << endl;
cout << "perpW = " << perpW << endl;
cout << "projW + perpW == w = " << equal << endl;
cout << "projW + perpW != w = " << notEqual << endl;
cout << "angle = " << angleDegrees << endl; return ;
}
3.
#include <windows.h> // for FLOAT definition
#include <xnamath.h>
#include <iostream>
using namespace std; int main()
{
cout.precision(); // Check support for SSE2 (Pentium4, AMD K8, and above).
if( !XMVerifyCPUSupport() )
{
cout << "xna math not supported" << endl;
return ;
} XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 1.0f, 1.0f, 0.0f);
XMVECTOR n = XMVector3Normalize(u); float LU = XMVectorGetX(XMVector3Length(n)); // Mathematically, the length should be 1. Is it numerically?
cout << LU << endl;
if( LU == 1.0f )
cout << "Length 1" << endl;
else
cout << "Length not 1" << endl; // Raising 1 to any power should still be 1. Is it?
float powLU = powf(LU, 1.0e6f);
cout << "LU^(10^6) = " << powLU << endl;
}