题目大意
有一棵树，最开始只有一个点。每次会往这棵树中加一个点，总共\(n\)次。输出每次加点后树的最大独立集大小。
强制在线。
\(n\leq 300000\)
题解
显然是LCT。
那么要维护什么呢？
先看看DP方程：设\(f_{i,0}\)为以\(i\)为根的子树中\(i\)这个点不选的答案，\(f_{i,1}\)为\(i\)这个点选的答案。显然
\[\begin{align}
f_{i,0}&=\sum_{v}\max(f_{v,0},f_{v,1})\\
f_{i,1}&=1+\sum_v f_{v,0}
\end{align}
\]
f_{i,0}&=\sum_{v}\max(f_{v,0},f_{v,1})\\
f_{i,1}&=1+\sum_v f_{v,0}
\end{align}
\]
先看看一条链要怎么做。设\(s_{i,j}\)为某一段中第一个点的状态为\(i\)，在后面补一个状态为\(j\)的点时这一段的贡献。这个东西很容易合并。
只有一个点时
\[\begin{align}
s_{0,0}&=0\\
s_{0,1}&=0\\
s_{1,0}&=1\\
s_{1,1}&=-\infty
\end{align}
\]
s_{0,0}&=0\\
s_{0,1}&=0\\
s_{1,0}&=1\\
s_{1,1}&=-\infty
\end{align}
\]
那树上要怎么做？
容易观察到\(i\)的各个儿子之间是互不影响的。可以像这道题一样，把整棵树剖成轻重链，每个点的贡献要加上这个点的轻儿子的贡献。
access和link时处理一下即可。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)
题解
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
void put(int x)
{
if(!x)
{
putchar('0');
return;
}
static int c[20];
int t=0;
while(x)
{
c[++t]=x%10;
x/=10;
}
while(t)
putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
struct p
{
ll s11,s12,s21,s22;
p()
{
s11=s12=s21=s22=0;
}
};
p merge(p a,p b)
{
p c;
c.s11=max(a.s11+b.s11,a.s12+b.s21);
c.s12=max(a.s11+b.s12,a.s12+b.s22);
c.s21=max(a.s21+b.s11,a.s22+b.s21);
c.s22=max(a.s21+b.s12,a.s22+b.s22);
return c;
}
void add(p &a,ll s11,ll s12,ll s21,ll s22)
{
a.s11+=s11;
a.s12+=s12;
a.s21+=s21;
a.s22+=s22;
}
namespace lct
{
int f[300010];
int a[300010][2];
p v[300010];
p s[300010];
int root(int x)
{
return !f[x]||(a[f[x]][0]!=x&&a[f[x]][1]!=x);
}
void mt(int x)
{
s[x]=v[x];
if(a[x][0])
s[x]=merge(s[a[x][0]],s[x]);
if(a[x][1])
s[x]=merge(s[x],s[a[x][1]]);
}
void rotate(int x)
{
int p=f[x];
int q=f[p];
int ps=(x==a[p][1]);
int qs=(p==a[q][1]);
int ch=a[x][ps^1];
if(!root(p))
a[q][qs]=x;
a[x][ps^1]=p;
a[p][ps]=ch;
if(ch)
f[ch]=p;
f[p]=x;
f[x]=q;
mt(p);
}
void splay(int x)
{
while(!root(x))
{
int p=f[x];
if(!root(p))
{
int q=f[p];
if((p==a[q][1])==(x==a[p][1]))
rotate(p);
else
rotate(x);
}
rotate(x);
}
mt(x);
}
void access(int x)
{
int y=x;
int t=0;
while(x)
{
splay(x);
add(v[x],max(s[a[x][1]].s21,s[a[x][1]].s22),max(s[a[x][1]].s21,s[a[x][1]].s22),max(max(s[a[x][1]].s11,s[a[x][1]].s12),max(s[a[x][1]].s21,s[a[x][1]].s22)),max(max(s[a[x][1]].s11,s[a[x][1]].s12),max(s[a[x][1]].s21,s[a[x][1]].s22)));
add(v[x],-max(s[t].s21,s[t].s22),-max(s[t].s21,s[t].s22),-max(max(s[t].s11,s[t].s12),max(s[t].s21,s[t].s22)),-max(max(s[t].s11,s[t].s12),max(s[t].s21,s[t].s22)));
a[x][1]=t;
mt(x);
t=x;
x=f[x];
}
splay(y);
}
void link(int x,int y)
{
v[x].s11=-0x7fffffff;
v[x].s12=1;
v[x].s21=0;
v[x].s22=0;
mt(x);
access(y);
f[x]=y;
a[y][1]=x;
// add(v[y],1,0);
mt(y);
}
};
int main()
{
open("b");
int n,type;
scanf("%d%d",&n,&type);
int i,x;
int ans=0;
lct::v[1].s11=-0x7fffffff;
lct::v[1].s12=1;
lct::v[1].s21=0;
lct::v[1].s22=0;
lct::mt(1);
for(i=2;i<=n+1;i++)
{
scanf("%d",&x);
if(type)
x^=ans;
x++;
lct::link(i,x);
lct::access(1);
ans=max(max(lct::s[1].s11,lct::s[1].s21),max(lct::s[1].s12,lct::s[1].s22));
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}