二叉树

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1. 树

  • 1.树(Tree)

    • 是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中:
      1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
      2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。
    • 此外,树的定义还需要强调以下两点:
      1)n>0时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,数据结构中的树只能有一个根结点。
      2)m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。
    • 图为一棵普通的树:

    二叉树

  • 2.结点的度

    • 结点拥有的子树数目称为结点的
    • 图所示树的各个结点的度。

    二叉树

  • 3.结点关系

    • 结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点
      A为B的双亲结点,B为A的孩子结点。
      同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点
      结点B与结点C互为兄弟结点。
  • 4.结点层次

    • 从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层,以此类推。
  • 5.树的深度

    • 树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。上图所示树的深度为3。

2 二叉树

1 定义

  • 二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

二叉树

2 二叉树特点

  • 由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点:
    1)每个结点最多有两颗子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。
    2)左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
    3)即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

3 二叉树性质

  • 1)在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。(i>=1)
    2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1)
    3)n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数,n2表示度数为2的节点数。
    4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。
    5)若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性:

(1) 如果i>=0,则序号为i节点的双亲结点的序号为(i-1)/2;如果i=0,则序号i节点无双亲结点

(2)如果2i+1<n,则序号i结点的左孩子的序号为2i+1,右孩子的序号为2i+2;如果2i+1>=n,则序号i节点无孩子节点

4 斜树

  • 斜树:所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

5 满二叉树

  • 满二叉树:在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。
  • 满二叉树的特点有:
    1)叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
    2)非叶子结点的度一定是2。
    3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

二叉树

6 完全二叉树

  • 完全二叉树:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。
  • 特点
    1)叶子结点只能出现在最下层和次下层。
    2)最下层的叶子结点集中在树的左部,且中间不能断搁
    3)倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。
    4)如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。
    5)同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。
    :满二叉树一定是完全二叉树,但反过来不一定成立。

二叉树

7 二叉树的实现

  • 定义二叉树结构
# Definition for a binary tree node.
class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None
  • 生成二叉树,将列表转成二叉树
def Create_Tree(root , list, i):
    if i<len(list):
        if not list[i]:    return None
        else:
            root = TreeNode(list[i])
            root.left = Create_Tree(root.left, list, i*2+1)
            root.right = Create_Tree(root.right,list, i*2+2)
            return root
    return root

8 二叉树遍历

1定义

  • 二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。
    二叉树的访问次序可以分为四种:
    • 前序遍历:根->左->右
    • 中序遍历:左->根->右
    • 后序遍历:左->右->根
    • 层序遍历

2实现

1.1前序遍历递归

class Solution:
    def preorderTraversal(self, root):  ##前序遍历
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return [] 
        return  [root.val] + self.preorderTraversal(root.left) + self.preorderTraversal(root.right)

1.2前序遍历迭代

  • 先看前序遍历。我们仍然使用栈stack,由于前序遍历的顺序是中左右,所以我们每次先打印当前结点curr,并将右子结点push到栈中,然后将左子结点设为当前结点。入栈和出栈条件(当前结点curr不为None时,每一次循环将当前结点curr入栈;当前结点curr为None时,则出栈一个结点)以及循环结束条件(整个循环在stack和curr皆为None的时候结束)
class Solution:
    def preorderTraversal(self, root):  ## 前序遍历
        stack = []
        sol = []
        curr = root
        while stack or curr:
            if curr:
                sol.append(curr.val)
                stack.append(curr.right)
                curr = curr.left
            else:
                curr = stack.pop()
        return sol

2.1中序遍历递归

class Solution:
    def inorderTraversal(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return [] 
        return self.inorderTraversal(root.left) + [root.val] + self.inorderTraversal(root.right)

2.2中序遍历迭代

  • 对于中序遍历的循环实现,每次将当前结点(curr)的左子结点push到栈中,直到当前结点(curr)为None。这时,pop出栈顶的第一个元素,设其为当前结点,并输出该结点的value值,且开始遍历该结点的右子树
class Solution:
    def inorderTraversal(self, root):
        stack = []
        sol = []
        curr = root
        while stack or curr:
            if curr:
                stack.append(curr)
                curr = curr.left
            else:
                curr = stack.pop()
                sol.append(curr.val)
                curr = curr.right
        return sol

3.1后序遍历递归

class Solution:
    def postorderTraversal(self, root):  ##后序遍历
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[int]
        """
        if not root:
            return [] 
        return  self.postorderTraversal(root.left) + self.postorderTraversal(root.right) + [root.val]

3.2后序遍历迭代

  • 再看后序遍历。由于后序遍历的顺序是左右中,我们把它反过来,则遍历顺序变成中右左,是不是跟前序遍历只有左右结点的差异了呢?然而左右的差异仅仅就是.left和.right的差异,在代码上只有机械的差别
class Solution:
    def postorderTraversal(self, root): ## 后序遍历
        stack = []
        sol = []
        curr = root
        while stack or curr:
            if curr:
                sol.append(curr.val)
                stack.append(curr.left)
                curr = curr.right
            else:
                curr = stack.pop()
        return sol[::-1]

4.1层序遍历递归

  • 递归函数需要有一个参数level,该参数表示当前结点的层数。遍历的结果返回到一个二维列表sol=[[]]中,sol中的每一个子列表保存了对应index层的从左到右的所有结点value值。
class Solution:
    def levelOrder(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: List[List[int]]
        """
        def helper(node, level):
            if not node:
                return
            else:
                sol[level-1].append(node.val)
                if len(sol) == level:  # 遍历到新层时,只有最左边的结点使得等式成立
                    sol.append([])
                helper(node.left, level+1)
                helper(node.right, level+1)
        sol = [[]]
        helper(root, 1)
        return sol[:-1]

4.2层序遍历迭代

  • 这里不能用栈了,得用队列queue。因为每一层都需要从左往右打印,而每打印一个结点都会在队列中依次添加其左右两个子结点,每一层的顺序都是一样的,故必须采用先进先出的数据结构
class Solution:
    def levelOrder(self, root):
        if not root:
            return []
        sol = []
        curr = root
        queue = [curr]
        while queue:
            curr = queue.pop(0)
            sol.append(curr.val)
            if curr.left:
                queue.append(curr.left)
            if curr.right:
                queue.append(curr.right)
        return sol
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