前言

典例剖析

例16我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形的面积求一边的算法[少广算法]，其方法的前两步如下。第一步：构造数列\(1\)，\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{3}\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(\cdots\)，\(\cfrac{1}{n}①\)，第二步：将数列①的各项乘以\(\cfrac{n}{2}\)，得到一个新数列\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，\(\cdots\)，\(a_n\)，则\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_{n-1}a_n\)等于多少？

$A.\cfrac{n^2}{4}$ $B.\cfrac{(n-1)^2}{4}$ $C.\cfrac{n(n-1)}{4}$ $D.\cfrac{n(n+1)}{4}$

法1：以少御多，将无限项转化为有限项，再由多转少，这样便于思考和运算；可以假定\(n=4\)，然后代入验证，选\(C\).

法2：写出新数列的通项公式\(a_k=\cfrac{1}{k}\cdot \cfrac{n}{2}\)，注意通项公式不是\(a_n=\cfrac{1}{n}\cdot \cfrac{n}{2}\)，

这样求和的数列的通项公式就是

\(k\ge 2\)，\(a_{k-1}a_k=\cfrac{n^2}{4}\cfrac{1}{(k-1)k}=\cfrac{n^2}{4}(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k})\)

故\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_{n-1}a_n\)

\(=\cfrac{n^2}{4}[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4})+\cdots+(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k})]\)

\(=\cfrac{n^2}{4}(1-\cfrac{1}{n})=\cfrac{n(n-1)}{4}\).