机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

2022-12-10 16:17:26

机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

1 逻辑回归的介绍和应用

1.1 逻辑回归的介绍

逻辑回归（Logistic regression，简称LR）虽然其中带有"回归"两个字，但逻辑回归其实是一个分类模型，并且广泛应用于各个领域之中。虽然现在深度学习相对于这些传统方法更为火热，但实则这些传统方法由于其独特的优势依然广泛应用于各个领域中。

而对于逻辑回归而且，最为突出的两点就是其模型简单和模型的可解释性强。

逻辑回归模型的优劣势:

  • 优点：实现简单，易于理解和实现；计算代价不高，速度很快，存储资源低；
  • 缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高

1.2 逻辑回归的应用

逻辑回归模型广泛用于各个领域，包括机器学习，大多数医学领域和社会科学。例如，最初由Boyd 等人开发的创伤和损伤严重度评分（TRISS）被广泛用于预测受伤患者的死亡率，使用逻辑回归 基于观察到的患者特征（年龄，性别，体重指数,各种血液检查的结果等）分析预测发生特定疾病（例如糖尿病，冠心病）的风险。逻辑回归模型也用于预测在给定的过程中，系统或产品的故障的可能性。还用于市场营销应用程序，例如预测客户购买产品或中止订购的倾向等。在经济学中它可以用来预测一个人选择进入劳动力市场的可能性，而商业应用则可以用来预测房主拖欠抵押贷款的可能性。条件随机字段是逻辑回归到顺序数据的扩展，用于自然语言处理。

逻辑回归模型现在同样是很多分类算法的基础组件,比如 分类任务中基于GBDT算法+LR逻辑回归实现的信用卡交易反欺诈，CTR(点击通过率)预估等，其好处在于输出值自然地落在0到1之间，并且有概率意义。模型清晰，有对应的概率学理论基础。它拟合出来的参数就代表了每一个特征(feature)对结果的影响。也是一个理解数据的好工具。但同时由于其本质上是一个线性的分类器，所以不能应对较为复杂的数据情况。很多时候我们也会拿逻辑回归模型去做一些任务尝试的基线（基础水平）。

说了这些逻辑回归的概念和应用，大家应该已经对其有所期待了吧，那么我们现在开始吧！！！

2 手推公式

逻辑回归的因变量则是一个 0/1 的二分类值，这就需要我们建立一种映射将原先的实值转化为 0/1 值。也就是sigmoid 函数了：
f ( x ) = 1 1 + e − x f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} f(x)=1+e−x1​
函数图形如下：
机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测
igmoid 函数还有一个很好的特性就是其求导计算等于下式，这给我们后续求交叉熵损失的梯度时提供了很大便利。
f ′ ( x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) f'(x)=f(x)(1-f(x)) f′(x)=f(x)(1−f(x))
逻辑回归模型的数学推导
由 sigmoid 函数可知逻辑回归模型的基本形式为：
y = 1 1 + e − W T x + b y=\frac{1}{1+e^{-W^Tx+b}} y=1+e−WTx+b1​
对上式转换：
ln ⁡ y 1 − y = W T x + b \ln \frac{y}{1-y}=W^Tx+b ln1−yy​=WTx+b
由 sigmoid 函数可知逻辑回归模型的基本形式为：
ln ⁡ p ( y = 1 ∣ x ) p ( y = 0 ∣ x ) = W T x + b \ln \frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}=W^Tx+b lnp(y=0∣x)p(y=1∣x)​=WTx+b
则有
p ( y = 1 ∣ x ) = e W T x + b 1 + e W T x + b = y ^ p ( y = 0 ∣ x ) = 1 1 + e W T x + b = 1 − y ^ p(y=1|x)=\frac{e^{W^Tx+b}}{1+e^{W^Tx+b}}=\hat{y}\\p(y=0|x)= \frac{1}{1+e^{W^Tx+b}}=1-\hat{y} p(y=1∣x)=1+eWTx+beWTx+b​=y^​p(y=0∣x)=1+eWTx+b1​=1−y^​
将上式进行简单综合：
p ( y ∣ x ) = y ^ y ( 1 − y ^ ) 1 − y p(y|x)=\hat{y}^y(1-\hat{y})^{1-y} p(y∣x)=y^​y(1−y^​)1−y
写成对数形式就是我们熟知的交叉熵损失函数了，这也是交叉熵损失的推导由来：
ln ⁡ p ( y ∣ x ) = y l o g y ^ + ( 1 − y ) l o g ( 1 − y ^ ) ln ⁡ p ( y ∣ x ) = y l o g 1 1 + e − W T x + b + ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − 1 1 + e − W T x + b ) \ln p(y|x)=ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y})\\\ln p(y|x)=ylog\frac{1}{1+e^{-W^Tx+b}}+(1-y)\log (1-\frac{1}{1+e^{-W^Tx+b}}) lnp(y∣x)=ylogy^​+(1−y)log(1−y^​)lnp(y∣x)=ylog1+e−WTx+b1​+(1−y)log(1−1+e−WTx+b1​)
最优化上式子本质上就是我们统计上所说的求其极大似然估计，可基于上式分别关于 W 和b 求其偏导可得：
∂ L ∂ W = 1 m x ( y ^ − y ) ∂ L ∂ W = 1 m ∑ i = 1 m ( y ^ − y ) \frac{\partial L}{\partial W}= \frac{1}{m}x(\hat{y}-y)\\ \frac{\partial L}{\partial W}=\frac{1}{m}\displaystyle\sum_{i=1}^m(\hat{y}-y) ∂W∂L​=m1​x(y^​−y)∂W∂L​=m1​i=1∑m​(y^​−y)
基于 W 和 b 的梯度进行权值更新即可求导参数的最优值，使得损失函数最小化，也即求得参数的极大似然估计

3 代码流程

Part1 Demo实践

  • Step1:库函数导入

    ##  基础函数库
import numpy as np 

## 导入画图库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

## 导入逻辑回归模型函数
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

  • Step2:模型训练

    ##Demo演示LogisticRegression分类

## 构造数据集
x_fearures = np.array([[-1, -2], [-2, -1], [-3, -2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]])
y_label = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

## 调用逻辑回归模型
lr_clf = LogisticRegression()

## 用逻辑回归模型拟合构造的数据集
lr_clf = lr_clf.fit(x_fearures, y_label) #其拟合方程为 y=w0+w1*x1+w2*x2

  • Step3:模型参数查看

    ## 查看其对应模型的w
print('the weight of Logistic Regression:',lr_clf.coef_)

## 查看其对应模型的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',lr_clf.intercept_)

    输出结果：
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  • Step4:数据和模型可视化

    ## 可视化构造的数据样本点
  plt.figure()
  plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
  plt.title('Dataset')
  plt.show()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    # 可视化决策边界
plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

nx, ny = 200, 100
x_min, x_max = plt.xlim()
y_min, y_max = plt.ylim()
x_grid, y_grid = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, nx),np.linspace(y_min, y_max, ny))

z_proba = lr_clf.predict_proba(np.c_[x_grid.ravel(), y_grid.ravel()])
z_proba = z_proba[:, 1].reshape(x_grid.shape)
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')

plt.show()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    ### 可视化预测新样本

plt.figure()
## new point 1
x_fearures_new1 = np.array([[0, -1]])
plt.scatter(x_fearures_new1[:,0],x_fearures_new1[:,1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 1',xy=(0,-1),xytext=(-2,0),color='blue',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))

## new point 2
x_fearures_new2 = np.array([[1, 2]])
plt.scatter(x_fearures_new2[:,0],x_fearures_new2[:,1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 2',xy=(1,2),xytext=(-1.5,2.5),color='red',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))

## 训练样本
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

# 可视化决策边界
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')

plt.show()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

  • Step5:模型预测

    ## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
y_label_new1_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new2)

print('The New point 1 predict class:\n',y_label_new1_predict)
print('The New point 2 predict class:\n',y_label_new2_predict)

## 由于逻辑回归模型是概率预测模型（前文介绍的 p = p(y=1|x,\theta)）,所有我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率
y_label_new1_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)

print('The New point 1 predict Probability of each class:\n',y_label_new1_predict_proba)
print('The New point 2 predict Probability of each class:\n',y_label_new2_predict_proba)

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测
    可以发现训练好的回归模型将X_new1预测为了类别0（判别面左下侧），X_new2预测为了类别1（判别面右上侧）。其训练得到的逻辑回归模型的概率为0.5的判别面为上图中蓝色的线。

Part2 基于鸢尾花（iris）数据集的逻辑回归分类实践

在实践的最开始，我们首先需要导入一些基础的函数库包括：numpy （Python进行科学计算的基础软件包），pandas（pandas是一种快速，强大，灵活且易于使用的开源数据分析和处理工具），matplotlib和seaborn绘图。

  • Step1:库函数导入

    ##  基础函数库
import numpy as np 
import pandas as pd

## 绘图函数库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

    本次我们选择鸢花数据（iris）进行方法的尝试训练，该数据集一共包含5个变量，其中4个特征变量，1个目标分类变量。共有150个样本，目标变量为 花的类别 其都属于鸢尾属下的三个亚属，分别是山鸢尾 (Iris-setosa)，变色鸢尾(Iris-versicolor)和维吉尼亚鸢尾(Iris-virginica)。包含的三种鸢尾花的四个特征，分别是花萼长度(cm)、花萼宽度(cm)、花瓣长度(cm)、花瓣宽度(cm)，这些形态特征在过去被用来识别物种。
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

  • Step2:数据读取/载入

    ## 我们利用 sklearn 中自带的 iris 数据作为数据载入，并利用Pandas转化为DataFrame格式
from sklearn.datasets import load_iris
data = load_iris() #得到数据特征
iris_target = data.target #得到数据对应的标签
iris_features = pd.DataFrame(data=data.data, columns=data.feature_names) #利用Pandas转化为DataFrame格式

  • Step3:数据信息简单查看

    ## 利用.info()查看数据的整体信息
iris_features.info()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

      ## 进行简单的数据查看，我们可以利用 .head() 头部.tail()尾部
  iris_features.head()

    输出结果:
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    iris_features.tail()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    ## 其对应的类别标签为，其中0，1，2分别代表'setosa', 'versicolor', 'virginica'三种不同花的类别。
iris_target

    输出结果：
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    ## 利用value_counts函数查看每个类别数量
pd.Series(iris_target).value_counts()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    ## 对于特征进行一些统计描述
iris_features.describe()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测
    从统计描述中我们可以看到不同数值特征的变化范围。

  • Step4:可视化描述

    ## 合并标签和特征信息
iris_all = iris_features.copy() ##进行浅拷贝，防止对于原始数据的修改
iris_all['target'] = iris_target

    ## 特征与标签组合的散点可视化
sns.pairplot(data=iris_all,diag_kind='hist', hue= 'target')
plt.show()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测
    从上图可以发现，在2D情况下不同的特征组合对于不同类别的花的散点分布，以及大概的区分能力。

    for col in iris_features.columns:
    sns.boxplot(x='target', y=col, saturation=0.5,palette='pastel', data=iris_all)
    plt.title(col)
    plt.show()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测
    利用箱型图我们也可以得到不同类别在不同特征上的分布差异情况。

    # 选取其前三个特征绘制三维散点图
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

fig = plt.figure(figsize=(10,8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

iris_all_class0 = iris_all[iris_all['target']==0].values
iris_all_class1 = iris_all[iris_all['target']==1].values
iris_all_class2 = iris_all[iris_all['target']==2].values
# 'setosa'(0), 'versicolor'(1), 'virginica'(2)
ax.scatter(iris_all_class0[:,0], iris_all_class0[:,1], iris_all_class0[:,2],label='setosa')
ax.scatter(iris_all_class1[:,0], iris_all_class1[:,1], iris_all_class1[:,2],label='versicolor')
ax.scatter(iris_all_class2[:,0], iris_all_class2[:,1], iris_all_class2[:,2],label='virginica')
plt.legend()

plt.show()

    输出结果：机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

  • Step5:利用 逻辑回归模型 在二分类上 进行训练和预测

    ## 为了正确评估模型性能，将数据划分为训练集和测试集，并在训练集上训练模型，在测试集上验证模型性能。
from sklearn.model_selection import train_test_split

## 选择其类别为0和1的样本 （不包括类别为2的样本）
iris_features_part = iris_features.iloc[:100]
iris_target_part = iris_target[:100]

## 测试集大小为20%， 80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features_part, iris_target_part, test_size = 0.2, random_state = 2020)

    ## 从sklearn中导入逻辑回归模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
## 定义 逻辑回归模型 
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')
# 在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train, y_train)

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    ## 查看其对应的w
print('the weight of Logistic Regression:',clf.coef_)

## 查看其对应的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',clf.intercept_)

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    ## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)

    from sklearn import metrics

## 利用accuracy（准确度）【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_train,train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_test,test_predict))

## 查看混淆矩阵 (预测值和真实值的各类情况统计矩阵)
confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict,y_test)
print('The confusion matrix result:\n',confusion_matrix_result)

# 利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predicted labels')
plt.ylabel('True labels')
plt.show()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测
    我们可以发现其准确度为1，代表所有的样本都预测正确了。

  • Step6:利用 逻辑回归模型 在三分类(多分类)上 进行训练和预测

    ## 测试集大小为20%， 80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features, iris_target, test_size = 0.2, random_state = 2020)
## 定义 逻辑回归模型 
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')
# 在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train, y_train)

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    ## 查看其对应的w
print('the weight of Logistic Regression:\n',clf.coef_)

## 查看其对应的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:\n',clf.intercept_)

## 由于这个是3分类，所有我们这里得到了三个逻辑回归模型的参数，其三个逻辑回归组合起来即可实现三分类。

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    ## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)

## 由于逻辑回归模型是概率预测模型（前文介绍的 p = p(y=1|x,\theta)）,所有我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率
train_predict_proba = clf.predict_proba(x_train)
test_predict_proba = clf.predict_proba(x_test)

print('The test predict Probability of each class:\n',test_predict_proba)
## 其中第一列代表预测为0类的概率，第二列代表预测为1类的概率，第三列代表预测为2类的概率。

## 利用accuracy（准确度）【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_train,train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_test,test_predict))

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测

    ## 查看混淆矩阵
confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict,y_test)
print('The confusion matrix result:\n',confusion_matrix_result)

# 利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predicted labels')
plt.ylabel('True labels')
plt.show()

    输出结果：
    机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测
    通过结果我们可以发现，其在三分类的结果的预测准确度上有所下降，其在测试集上的准确度为:86.67%，这是由于’versicolor’（1）和 ‘virginica’（2）这两个类别的特征，我们从可视化的时候也可以发现，其特征的边界具有一定的模糊性（边界类别混杂，没有明显区分边界），所有在这两类的预测上出现了一定的错误。

4 重要知识点

逻辑回归 原理简介：

Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：
l o g i ( z ) = 1 1 + e − z logi(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} logi(z)=1+e−z1​

其对应的函数图像可以表示如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-5,5,0.01)
y = 1/(1+np.exp(-x))

plt.plot(x,y)
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('y')
plt.grid()
plt.show()

机器学习算法（一）: 基于逻辑回归的分类预测
通过上图我们可以发现 Logistic 函数是单调递增函数，并且在z=0的时候取值为0.5，并且 l o g i ( ⋅ ) logi(\cdot) logi(⋅)函数的取值范围为 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)。

而回归的基本方程为 z = w 0 + ∑ i N w i x i z=w_0+\sum_i^N w_ix_i z=w0​+∑iN​wi​xi​，

将回归方程写入其中为：
p = p ( y = 1 ∣ x , θ ) = h θ ( x , θ ) = 1 1 + e − ( w 0 + ∑ i N w i x i ) p = p(y=1|x,\theta) = h_\theta(x,\theta)=\frac{1}{1+e^{-(w_0+\sum_i^N w_ix_i)}} p=p(y=1∣x,θ)=hθ​(x,θ)=1+e−(w0​+∑iN​wi​xi​)1​

所以, p ( y = 1 ∣ x , θ ) = h θ ( x , θ ) p(y=1|x,\theta) = h_\theta(x,\theta) p(y=1∣x,θ)=hθ​(x,θ)， p ( y = 0 ∣ x , θ ) = 1 − h θ ( x , θ ) p(y=0|x,\theta) = 1-h_\theta(x,\theta) p(y=0∣x,θ)=1−hθ​(x,θ)

逻辑回归从其原理上来说，逻辑回归其实是实现了一个决策边界：对于函数 y = 1 1 + e − z y=\frac{1}{1+e^{-z}} y=1+e−z1​,当 z = > 0 z=>0 z=>0时, y = > 0.5 y=>0.5 y=>0.5,分类为1，当 z < 0 z<0 z<0时, y < 0.5 y<0.5 y<0.5,分类为0，其对应的 y y y值我们可以视为类别1的概率预测值.

对于模型的训练而言：实质上来说就是利用数据求解出对应的模型的特定的 w w w。从而得到一个针对于当前数据的特征逻辑回归模型。

而对于多分类而言，将多个二分类的逻辑回归组合，即可实现多分类。

算法部分参考公众号机器学习实验室的算法数学推导

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