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题目
题目链接：洛谷 P7025、gym101612G。
题意概述
给你一张有 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，无重边无自环，请你求出两个点 \(s,t\) 使得 \(s,t\) 之间有三条不重合的简单路径。
\(1\leq\sum n,\sum m\leq 10^5\)
题解
探究图的性质
考虑到本题是无向图，我们不难想到一个引理。
引理：无向图的 dfs 树上只存在树边和返祖边。
考虑到 dfs 树中只会存在树边、返祖边、横叉边，因此我们只需要证明无向图的 dfs 树上不存在横叉边即可。
考虑反证法。
假设存在一条横叉边 \((u,v)\)，目前遍历到 \(u\)，\(v\) 在之前被访问过，根据横叉边的定义，\(v\) 不是 \(u\) 的祖先。
根据深度优先搜索的深度优先原则，此时一定访问完了所有与 \(v\) 相连的节点，但 \(u\) 却未被访问到，造成矛盾，假设不成立，引理得证。
利用性质构造方案
考虑到 dfs 树上只有额外的返祖边，我们不难构造出一种方案。
对于一个点 \(u\)，如果它的两棵子树内存在两个节点 \(x,y\) 使得有两条返祖边 \((x,p_1),(y,p_2)\) 满足 \(p_1,p_2\) 是节点 \(u\) 的祖先。
画成图长下面这样：
充分性十分显然，下面我们考虑证明必要性。即不存在上述情况，也有满足条件的三条路径和两个节点。
不难发现这是不可能的，因为只要存在起点与终点，它们在 dfs 树上必然是祖先关系，因此一定满足上述情况，矛盾。
因此我们证明了这个条件的充分必要性，用 tarjan 算法判定即可。时间复杂度 \(\Theta(n)\)。
参考程序
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;
inline int read(void){
reg char ch=getchar();
reg int res=0;
while(!isdigit(ch))ch=getchar();
while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
return res;
}
inline void write(reg int x){
static char buf[32];
reg int p=-1;
if(x<0) x=-x,putchar('-');
if(!x) putchar('0');
else while(x) buf[++p]=(x%10)^'0',x/=10;
while(~p) putchar(buf[p--]);
return;
}
const int MAXN=1e5+5;
int n,m;
vector<int> G[MAXN];
int fa[MAXN];
int tim,dfn[MAXN],rnk[MAXN],low[MAXN],ed[MAXN],clow[MAXN],ced[MAXN];
int s,t;
inline void tarjan(reg int u,reg int father){
fa[u]=father;
dfn[u]=low[u]=clow[u]=++tim;
rnk[tim]=u;
ed[u]=ced[u]=u;
for(int v:G[u])
if(v!=father){
if(!dfn[v]){
tarjan(v,u);
if(low[v]<low[u]){
clow[u]=low[u],ced[u]=ed[u];
low[u]=low[v],ed[u]=ed[v];
}
else if(low[v]<clow[u])
clow[u]=low[v],ced[u]=ed[v];
}
else{
if(dfn[v]<low[u]){
clow[u]=low[u],ced[u]=ed[u];
low[u]=dfn[v],ed[u]=u;
}
else if(dfn[v]<clow[u])
clow[u]=dfn[v],ced[u]=u;
}
}
if(!s&&!t&&clow[u]<dfn[u])
s=u,t=rnk[clow[u]];
return;
}
inline vector<int> getPath(reg int son,int father){
vector<int> res;
for(int p=son;p!=father;p=fa[p])
res.push_back(p);
res.push_back(father);
return res;
}
inline vector<int> reverse(vector<int> a){
reverse(a.begin(),a.end());
return a;
}
inline vector<int> merge(vector<int> a,vector<int> b){
a.insert(a.end(),b.begin(),b.end());
return a;
}
int main(void){
reg int T=read();
while(T--){
n=read(),m=read();
for(reg int i=1;i<=n;++i)
G[i].clear();
for(reg int i=1;i<=m;++i){
static int u,v;
u=read(),v=read();
G[u].push_back(v),G[v].push_back(u);
}
tim=0,fill(dfn+1,dfn+n+1,0);
s=0,t=0;
for(reg int i=1;i<=n;++i)
if(!dfn[i])
tarjan(i,0);
if(!s&&!t)
write(-1),putchar('\n');
else{
write(s),putchar(' '),write(t),putchar('\n');
vector<int> ans1=getPath(s,t);
write(ans1.size()),putchar(' ');
for(reg int i=0,siz=ans1.size();i<siz;++i)
write(ans1[i]),putchar(i==siz-1?'\n':' ');
vector<int> ans2=merge(reverse(getPath(ed[s],s)),reverse(getPath(t,rnk[low[s]])));
write(ans2.size()),putchar(' ');
for(reg int i=0,siz=ans2.size();i<siz;++i)
write(ans2[i]),putchar(i==siz-1?'\n':' ');
vector<int> ans3=merge(reverse(getPath(ced[s],s)),getPath(rnk[clow[s]],rnk[clow[s]]));
write(ans3.size()),putchar(' ');
for(reg int i=0,siz=ans3.size();i<siz;++i)
write(ans3[i]),putchar(i==siz-1?'\n':' ');
}
}
flush();
return 0;
}